树状数组

题目 树状数组模板1 题目大意：给定一个序列，要求支持两种操作：1.将某个数加上 \(x\)，2.查询区间某部分的和。

题目 树状数组模板2 题目大意：给定一个序列，要求支持两种操作：1.将区间内的每个数加上 \(x\)，2.查询某个数。

分析 由于第一题与第二题实际上是等价的（稍后会说明），我们以下仅讨论第一题。我们先以最简单的数组来考虑，显然操作1是 \(O(1)\)，操作2是 \(O(n)\) 的，总体复杂度 \(O(nm)\)，很明显会超时。这时我们就会想到用前缀和来优化操作2，这样的话操作2是 \(O(1)\) 的，但是操作1是 \(O(n)\) 的，总体复杂度仍为 \(O(nm)\)，会超时。有没有一种数据结构，可以使操作1和操作2都是 \(O(1)\) 的呢？仅目前来看是不存在的。于是我们退而求其次寻找一种数据结构，使操作1和操作2都是 \(O(\log n)\) 的。

树状数组（又称二叉索引树，Binary Indexed Tree，BIT）是一类最基础的树形数据结构。它支持 \(O(\log n)\) 进行区间修改单点查询或区间查询单点修改，亦即上述两道题的操作。具体来说，树状数组自身本质上仍是一个数组。我们令 \(a\) 为原数组，\(c\) 为树状数组，假定 \(i\) 二进制最后有 \(j\) 个0，则有 \(c_i=\sum_{k=0}^{2^j}a_{i-k}\)。

（图片来自网络，侵删）

不难发现，现在我们更改与查询的时候只需更改包含着对象的位置就可以了，这样的位置不会超过 \(\log n\) 个（为什么），所以我们只需 \(O(1)\) 从一个位置找到包含原对象的另一个位置就行了。

如果当前要修改 \(1(0001)\)，则要修改 \(1(0001),2(0010),4(0100),8(1000)\)。

如果当前要修改 \(5(0101)\)，则要修改 \(5(0101),6(0110),8(1000)\)。

如果当前要查询 \(7(0111)\) 的前缀和，则要查询 \(7(0111),6(0110),4(0100)\)。

如果当前要查询 \(5(0101)\) 的前缀和，则要查询 \(5(0101),4(0100)\)。

不难发现，修改一个数时，下一个要修改的目标位置就是当前位置加上当前位置的最后一位，如 \(6\rightarrow 8(0110+0010=1000)\)；查询一个数时，下一个要修改的目标位置就是当前位置减去当前位置的最后一位，如 \(5\rightarrow 4(0101-0001=0100)\)。那么现在问题转化为了如何 \(O(1)\) 求出某个数二进制最后一位，那便是lowbit函数：

int lowbit(int x)
{
    return x & (-x);
}

这个函数可以以 \(O(1)\) 的优秀复杂度求出某个数二进制的最后一位（比如 \(3(0011)\rightarrow 1(0001),6(0110)\rightarrow 2(0010)\)），证明只需一点点基础的二进制编码，留给读者自证。

那么现在我们就可以愉快地写出第一道题的代码。而对于第二题，不难发现，只要对原数列进行差分，就可以将区间修改转变为单点修改，单点查询转变为区间查询。

代码
第一题：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 5E+5 + 5;

int n, m;
int c[maxn];

int Read()
{
    int x = 0, op = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') {
        if(ch == '-') op = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (ch - '0');
        ch = getchar();
    }
    return x * op;
}

inline int lowbit(int x) { return x & (-x); }
inline void Add(int pos, int x) { while(pos <= n) c[pos] += x, pos += lowbit(pos); }

int Query(int pos)
{
    int res = 0;
    while(pos) {
        res += c[pos];
        pos -= lowbit(pos);
    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) Add(i, Read());

    while(m--) {
        int op = Read(), x = Read(), y = Read();

        if(op == 1) Add(x,y);
        else printf("%d\n", Query(y) - Query(x - 1));
    }
}

第二题：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 5E+5 + 5;

int n, m;
int a[maxn], c[maxn];

int Read()
{
    int x = 0, op = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') {
        if(ch == '-') op = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (ch - '0');
        ch = getchar();
    }
    return x * op;
}

inline int lowbit(int x) { return x & (-x); }
inline void Add(int pos, int x) { while(pos <= n) c[pos] += x, pos += lowbit(pos); }

int Query(int pos)
{
    int res = 0;
    while(pos) {
        res += c[pos];
        pos -= lowbit(pos);
    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = Read();

    while(m--) {
        int op = Read(), x = Read(), y, z;

        if(op == 1) y = Read(), z = Read(), Add(x, z), Add(y + 1, -z);
        else printf("%d\n", a[x] + Query(x));
    }
}