中国剩余定理及扩展中国剩余定理

题目 给定数组 \(a,m\)，保证所有 \(m\) 互质。请求出模方程组

\[\begin{cases} x\equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x\equiv a_2 \pmod{m_2} \\ \cdots \\ x\equiv a_n \pmod{m_n} \\ \end{cases} \]

的最小正整数解。

分析 我们令 \(M=\prod_{i=1}^n m_i, w_i = \frac{M}{m_i}, p_i \equiv w_i^{-1} \pmod{m_i}, e_i = w_i p_i\)，则有 \(x_0 = e_1a_1 + e_2a_2 + \cdots + e_na_n\) 是原方程组的一个解。这是因为 \(e_i \equiv w_ip_i \equiv 1 \pmod{m_i}\)，而对于其它的 \(k\neq i\)，总有 \(e_k\equiv w_k\equiv 0 \pmod{m_i}\)。也就是说，对于第 \(i\) 个方程，\(x_0\) 除了第 \(i\) 项为 \(a_i\) 外其他项均为 \(0\)（在模 \(m_i\) 意义下）。这便是中国剩余定理（Chinese Reminder Theorem, CRT），代码如下：

ll CRT(int n, ll *a, ll *m)
{
    ll M = 1, res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        M *= m[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
        ll w = M / m[i], p = inv(w, m[i]);
        res = (res + w * p * a[i]) % M;
    }
    return (res + M) % M;
}

仔细分析，我们就能发现该算法的不足，在于所有 \(m\) 均互质。但如果将这个保证去掉呢？

假定我们已经求得了前 \(k\) 个方程的通解 \(x + r\cdot M(r\in\mathbb{Z}, M=\prod_{i=1}^k m_i)\)，现在就要求解 \(x+r\cdot M\equiv a_{k+1}\pmod{m_{k+1}}\)，用扩展欧几里得莽干求解 \(r\) 就行了（雾）。这就是扩展中国剩余定理（Extended Chinese Reminder Theorem, exCRT），虽然和 CRT 完全不沾边。。。事实上，我们可以证明当 \(M=LCM_{i=1}^k m_i\) 结论依然成立。代码如下：

ll exCRT(int n, ll *a, ll *m)
{
    ll M = m[1], res = a[1], x, y;
    for(int i = 2; i <= n; ++i) {
        ll d = exgcd(M, m[i], x, y), c = (a[i] - res % m[i] + m[i]) % m[i];
        if(c % d) return -1;
		
        x = mul(x, c / d, m[i] / d);
        res += x * M, M *= m[i] / d, res = (res % M + M) % M;
    }
    return res;
}