19本书，选5本，任两本不邻-粗解

 

有19本书，分别编号为1--19，从中选出5本，要求任意两本编号不相邻，问一共有多少中选法？

A. 2002 B. 3003 C. 11628 D. 360360

任选5本，组合C19(5)=19*18*17*16*15/5！=11628。又有条件规定任意两本编号不相邻，那一定选A或者B，由于是个选择题不必细究，那就可以选中间值B-3003。这是考场上的解决办法，要想一探究竟参考如下。

19本书就是有19个位置，我们可以写个19位的二进制数，1表示该位置的书选择了，0表示该位置的书没有选择。那么，任意两本不相邻，那我们可以写出5个1，相邻两个1之间放0，即101010101。如下图：

我们可以看出有6个等效位置，即10个0可以放在这六个位置，来产生不同的二进制数，使1出现的位置发生变化，对应选择不同位置的书本。

设每个位置分别放x1,x2,x3,x4,x5,x6个0，不同的组合(x1,x2,x3,x4,x5,x6)对应不同的选择。

x1+x2+x3+x4+x5+x6=10，化为线性规划了，你呢可以逐一演算来推出有多少解。我没有做演算，就写了个程序来验证了下答案。程序如下：

for(int x1=0;x1<=10;x1++) for(int x2=0;x2<=(10-x1);x2++) for(int x3=0;x3<=(10-x1-x2);x3++) for(int x4=0;x4<=(10-x1-x2-x3);x4++) for(int x5=0;x5<=(10-x1-x2-x3-x4);x5++) count++; 

最后的count应为解个数，即选择的个数。运行程序结构为3003。想的不对的地方，望指正！