数学建模—层次分析

数学建模—层次分析法

相关概念

层次分析法主要解决评价类问题,比如,选择那种方案更好,谁更优秀

评价类问题可用打分解决,将选择条件分成不同的指标,权值和为一

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同颜色的单元格合为1,表示某一因素所占的权重

层次分析法步骤

  • 1.分析系统中各因素的关系,建立层次结构

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使用层次分析法一定要放上面的这个图到论文中哦

  • 2.构造判断矩阵

目标层—准则层

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准则层—方案层

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其中的数据自己填即可,但不要说是怎么来的

  • 3.由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重,并要通过一致性检验

建议用三种方法来计算(在文章中写为保证结果的稳健性,使用三种方法分别求权值,再根image

  • 4.计算各层元素对系统目标的合成权重,并排序

具体的步骤及细节

如何确定评价类问题

  • 出现确定评价指标,形成评价体系等字样

  • 解决评价类问题,首先想三点

评价的目标是什么

为了达到目标有哪几种方案

评价的准则或指标(背景材料,常识和网上搜索):去知网找+自己想...

如何确定权值

建立矩阵

使用判断矩阵(正互反矩阵):对角线全为一的倒数对称矩阵,每行和每列均为指标或是方案

其中一致性矩阵最为特殊,其特点:各行(各列之间成倍数关系)

一致性检验

在使用判断矩阵求权值之前一定要进行一致性检验

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权值的计算

  • 算术平均法

    将判断矩阵按列归一化,按行求和,再求平均

  • 几何平均法

    将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量,将新的向量的每个分量开n次方,对该列向量进行归一化即可得到权重向量

  • 特征值法(使用最多)

    求出最大特征值以及对应的特征向量,对其特征向量做归一化处理

一致矩阵计算权重

随便选择一列,来计算所占的比值(一定要归一化处理)

判断矩阵算权重

所有列都像一致矩阵进行计算,再平均

层次分析法的局限性

  • 评价决策太多
  • 决策层的数据已知

层次分析法的拓展

若方与准则的对应不是一一对应,只需将不对应的方案的权值设为0

Matlab代码

此代码来自清风,感谢

%% 先对判断矩阵进行一致性检验,然后再计算权重,因为只有判断矩阵通过了一致性检验,其权重才是有意义的。
%% 只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。

%% 输入判断矩阵
clear;clc
disp('请输入判断矩阵A: ')
% A = input('判断矩阵A=')
A =[1 1 4 1/3 3;
 1 1 4 1/3 3;
 1/4 1/4 1 1/3 1/2;
 3 3 3 1 3;
 1/3 1/3 2 1/3 1]
% matlab矩阵有两种写法,可以直接写到一行:
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 也可以写成多行:
% 两行之间以分号结尾(最后一行的分号可加可不加),同行元素之间以空格(或者逗号)分开。

%% 方法1:算术平均法求权重
% 第一步:将判断矩阵按照列归一化(每一个元素除以其所在列的和)
Sum_A = sum(A)

[n,n] = size(A)  % 也可以写成n = size(A,1)
% 因为我们的判断矩阵A是一个方阵,所以这里的r和c相同,我们可以就用同一个字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1)   %repeat matrix的缩写
% 另外一种替代的方法如下:
    SUM_A = [];
    for i = 1:n   %循环哦,这一行后面不能加冒号(和Python不同),这里表示循环n次
        SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
    end
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可

% 第二步:将归一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)

% 第三步:将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为:');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先对标准化后的矩阵按照行求和,得到一个列向量
% 然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可(注意这里也可以用./哦)

%% 方法2:几何平均法求权重
% 第一步:将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数类似,一个用于乘,一个用于加  dim = 2 维度是行

% 第二步:将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 这里对每个元素进行乘方操作,因此要加.号哦。  ^符号表示乘方哦  这里是开n次方,所以我们等价求1/n次方

% 第三步:对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为:');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))

%% 方法3:特征值法求权重
% 第一步:求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
clc
[V,D] = eig(A)    %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵(除了对角线元素外,其余位置元素全为0)
Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了? 需要用到find函数,它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 那么问题来了,我们要得到最大特征值的位置,就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中,不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置,记录它的行和列。

% 第二步:对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
V(:,c)% 取出特征向量(列向量)
disp('特征值法求权重的结果为:');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量,然后再进行标准化。

%% 计算一致性比例CR
clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦,这里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因为CR < 0.10,所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意:CR >= 0.10,因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end
posted @ 2023-04-03 16:03  T,a,o  阅读(278)  评论(0编辑  收藏  举报