数据结构基础—树与二叉树(2)
五、线索二叉树
1.什么是线索二叉树
遍历二叉树的结果是，求得结点的一个线性序列，结点中再添加两个标记“LTag和RTag”,来判断当前结点是否有孩子
- 若左子树不空，则，将lchild指向其左子树，且左标志域的值为“Link”;否则(空)，lchild指向前驱，且左标志的值为“Thread”
- 若右子树不空，则，将lchild指向其右子树，且右志域的值为“Link”;否则(空)，lchild指向后继，且右标志的值为“Thread”
总之，不空正常指向。空，左：指向前驱；右：指向后继(若无头针，则可能有空悬)
类型描述如下
typedef struct BiNode {
Datatype data;//数据内容
struct BiNode *Lchild;//指向左孩子结点
struct BiNode *rchild;//指向右孩子结点
int Ltag;//值为0，则Lchild指向该结点的左孩子；值为1.指向该结点的前驱结点
int rtag;//值为0，则rchild指向该结点的右孩子；值为1.指向该结点的后继结点
} BiNode ;
三种遍历
先序
中序
后序
要会自己划线，实线是指针，虚线是线索
2.建立(线索化)线索二叉树
才用递归的方法，以中序为例，先处理左子，再处理当前结点，最后处理右子即可
需要添加辅助指针pre:指向当前访问的指针p的前驱（逻辑前驱）
//不带头结点
void inThreading(p){
if(p){//p就是根结点，不空
inThreading(p->lchild);//处理左子
//处理当前结点
if(左子空){
p->LTag = Thread;
p->lchild = pre;//前驱
}
if(右子空){
p->RTag =Thread;//标记为无右孩子
}
if(pre&&pre->RTag == Thread){pre不空且没有右孩子(pre是当前的前驱)
pre->rchild = p;
}
pre = p;//我自己就是自己的前驱
inThreading(p->rchild);//处理右子
}
}
3.遍历线索二叉树
中序不需要栈，先序和后序需要栈
以中序为例，先找到第一个结点，然后判断其是否有右子树，若无，则访问其线索指向的地址(当前的后继)，如果有右子树，则让p = p->rchild继续按中序遍历
//有头结点
while(树不空){
while(左有子树){
p = p->lchild;//一直沿着左链走，找到第一个没有左子的结点p
访问一下p
while(p->rchild == Thread&& != T) p = p->rchild并访问p的后继结点
否则(p有右子树)：p = p->rchild;//成为新的根结点
}
}
六、树和森林的表示方法
1.双亲表示法
typedef struct PTNode{
Elem data;
int parent;//双亲位置域，-1则为根
}PTNode;
2.孩子链表法
在双亲链表的基础上，增加一个指针域，来依次存放该结点的孩子结点(深度为一)
3.左孩子右兄弟表示法
-
firstchild:存放其左边的结点
-
nextsibling：同级左结点的全部兄弟结点
typedef struct CSNode{
Elem data;
struct CSNode *firstchild.*nextsibling;
}CSNode.*CSTree;
4.树、森岭与二叉树的转化
a.数和二叉树
树和转化为二叉树
- 在树的每层从左至右在兄弟结点之间添加虚线
- 除左第一个结点，父结点与所有的子结点的连线去掉
- 将原来的实，线左移；将后添的虚线便实线，右移
变化之后的二叉树的根结点没有右子树，左结点还是原来的左结点，所有沿右链往下的结点均是该解结点的兄弟结点
二叉树还原回树
- 将父结点与该左结点的右链间全部添加虚线
- 将所有的右分支的连线全部去掉
- 将虚线相连的结点上移
b.森林与二叉树
森林转化为二叉树
- 先将森林中的每一棵树化为二叉树
- 从最后一颗二叉树开始，每一颗 二叉树的根作为前一颗二叉树根的右子
二叉树还原为森林
- 将二叉树的根右子依次去掉
- 在每一颗二叉树还原回树
七、树和森岭的遍历
1.树的遍历
总体分为先根、后根、和层次遍历
先根：先访问根结点，在访问叶子结点；后根：先访问叶子，再访问根
-
树的先根遍历等价于二叉树的先序遍历
-
树的后根遍历等价于二叉树的中序遍历
森林的遍历
总体分为先序、中序和后序
- 森林的先序 = 二叉的先序
- 森林的中序 = 二叉的中序
- 森林的后序 = 二叉的后序
3.应用
假设存储结构式孩子兄弟链表，来存储一般的树
typedef struct CSNode{
Elem data;
struct CSNode *firstchild.*nextsibling;
}CSNode.*CSTree;
a.求树的深度
int TreeDepth(CSTree T){
if(!T) return 0;
else{
h1 = TreeDepth(T->firstchild);
h2 = TreeDepth(T->nextsibling);
return (max(h1+1,h2));
}
}
b.输出树中所有从根到叶子的路径
基本原理：
若不空：一直沿着左链走进栈，直到左子是空。判断有没有右
左空：代表是叶子结点，打印路径，并出栈
左空，没有右子树：退回到上一结点
左空，有右子树：将右子树入栈，再判断
//使用栈
void ALLPath(Bitree T,stack &S){
if(T){
//进栈；
if(!T->lchild) //打印栈的元素(栈底到栈顶)
else{
ALLPath(T->lchild,S);
ALLPath(T->rchild,S);
}
//出栈
}
}
八、哈夫曼树
1.相关概念
- 结点路径：树中一个结点到另一个结点之间的分支构成的路径eg:AEF
- 路径长度：结点路径上的分支树
- 树的路径长度：根结点到每一个叶子的路径长度的和
- 结点的带权路径长度：根结点到结点之间的路劲长度于结点权值的乘积
- 树的带权路径长度：根到每一个叶子的带权路径长度的和
哈夫曼(Huffman)树,一颗带权路径长度最小的二叉树(最优树)，没有度为1的结点
2.哈夫曼树的构造
简单的几个规定：权小左，权大右，权值相等浅为左
n个叶子，总结点 2n - 1(n + (n - 1))个
构造方法
- 从n个里面找最小的两个，合并成一颗二叉树，
- 其根结点的权值 = 两个小叶子权值的和
- 去除这两个小结点
- 新根作为新结点
- 直到只剩下一个结点
推荐使用静态链表来实现
静态链表
//获取两个最小值
int *Select(HuffmanTree HT,int n){
int s1,s2;////最小值与极小值
int mmin = Max_S;//先等于无穷大
int min = Max_S;
for(int i = 1;i <= n;i++){
if(HT[i].parent != 0) continue;//双亲不为零代表已经构成新树，应去除
else{
if(mmin >= HT[i].weight){//最小的
min = mmin ;
s2 = s1;
mmin = HT[i].weight;
s1 = i;
}else if(min >= HT[i].weight){//次小的
min = HT[i].weight;
s2 = i;
}
}
}
//若最小值相等，则浅(先遍历的)树的序号在前
int S1 = qiushendu(HT,s1);
int S2 = qiushendu(HT,s2);
if(S1 >= S2){
int temp;
temp = s1; s1 = s2; s2 = temp;//交换顺序
}
//用数组存放最小值和次小值
int a[3] = {0,s1,s2};
return a;
}
//构建哈夫曼树
void CreatHuffmanTree(HuffmanTree &HT,char *huf,int *wei,int n){
int s1,s2;//最小值与极小值
if(n <= 1){
cout << "抱歉，您输入的结点数不符合逻辑";
return;
}
int m = 2*n-1;//总结点树
HT = new HTNode[m+1];//放弃下标为零的数组
//先遍历前n个数,初始化
for(int i = 1;i <= m;i++){//全部初始化为零
HT[i].parent = 0;
HT[i].lchild = 0;
HT[i].rchild = 0;
}
//赋结点、权值
for(int i;i <= n;i++){
HT[i].data = huf[i];//结点
HT[i].weight = wei[(int)huf[i]];//权值
}
//遍历后n+1个，新根
for(int i = n+1;i <= m;i++){
//找出最小额两个结点
int *a;//获取s1和s2
a = Select(HT,i-1);//在n个数中找
s1 = a[1]; s2 = a[2];
//更新各个数值
HT[s1].parent = i;
HT[s2].parent = i;
HT[i].lchild = s1;
HT[i].rchild = s2;
HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;
}
3.哈夫曼编码
1.引入
为提高传输速度，要求编码尽可能短，还要保证任意字符的编码都不是另一个字符编码的前缀，即前缀编码。Huffman树可以用来构造长度不等且不产生二义性的编码。
那该怎么解析(译码)呢？
从根结点出发走一条从跟到叶子的路径过程(遇0向左，遇1向右)，达到叶子结点就译出一个字符，直至译码完成
2.哈夫曼的构造
基本思想：概率大的字符用短码，小的用长码，构造哈夫曼树，像下图那样(权值即频率)
3.相关结论
- 哈夫曼编码是不等长的编码
- 哈夫曼树，没有度为一的结点
- 发送：根据哈夫曼树得到的编码表送出字符数据
- 接收：按左0右1的规定，从根到叶子的遍历
