排序算法的相关问题

 排序算法的稳定性问题

　　常见的七种排序：冒 择 插 希 快 归 堆；

　　之前笔试、面试时，一直问到关于常见排序算法的稳定模型问题，有时候还往往是多选，虽然之前曾看到好多这样的问题，可还是每一次都拿捏不准。在此总结一下，希望能够有所收获。

　　首先，排序算法的稳定性大家都应该知道，通俗地讲就是能够保证排序，2个相等的数其在序列的前后顺序和排序后他们两个的前后位置顺序相同。再简单形象点，如果Ai=Aj，Ai原来在位置前，排序后Ai还是要在Aj位置前。

　　其次，说一下稳定性的好处。排序算法如果是稳定的，那么从一个键上排序，然后再从另外一个键上排序，第一个键排序的结果可以为第二个键排序所用。基数排序就是这样，先按低位排序，逐次按高位排序，低位相同的元素其顺序在高位也相同时是不变的。另外，如果排序算法稳定，对基于比较的排序算法而言，元素交换的次数可能会少一些（个人感觉，没有证实）。

回到主题，现在分析一下常见的排序算法的稳定性，每个都给出简单的理由。

（1）冒泡排序

　　冒泡排序就是每次循环把小的元素往前调或者把大的元素往后调。是两个相邻的元素比较，先相邻的比较、交换，交换也是发生在这两个元素之间。所以，如果两个元素相等，不用交换位置；如果两个相等的元素没有相邻，那么即使通过前面的两两交换把两个相邻起来，这个时候也不会交换，所以相同元素的前后顺序并没有改变，所以冒泡排序是一种稳定排序算法。

（2）选择排序

　　选择排序是给每个位置选择当前元素最小的，先循环一次比较选出最小的元素，再交换，比如给第一个位置选择最小的，再在剩余元素里面给第二个元素选择第二小的，以此类推，直到第n-1个元素，第n个元素就不用选择了，因为只剩下它一个最大的元素了。那么，在一趟选择，如果当前元素比后面一个元素大，而小的元素又出现在一个和当前元素相等的元素后面，那么交换后稳定性就破坏了。比较拗口，举个例子，序列5 8 5 2 9，我们知道第一遍选择第1个元素5会和2交换，那么原序列中2个5的相对前后顺序就被破坏了，所以选择排序不是一个稳定的排序算法。

（3）插入排序

　　插入排序是在一个已经有序的小序列的基础上，一次插入一个元素。当然，刚开始这个有序的小序列只有1个元素，就是第一个元素。从有序序列的末尾开始比较，也就是想要插入的元素和已经有序的最大者开始比起。如果比它大则直接插入其后面，否则一直往前找，直到找到它，插入该位置。如果碰见一个和插入元素相等的，那么插入元素把想插入的元素放在相等元素的后面。所以，相等元素的前后顺序没有改变，从原无序序列出去的顺序就是排好序 后的顺序，所以插入排序是稳定的。

(4)快速排序

　　快速排序有两个方向，当a[i]<=a[center_index]时，左边的i下标一直往右走，其中center_index是中枢元素的数组下标，一般值取为数组第0个元素的值。而当a[j]>a[center_index]时，右边的j下标一直往左走。如果i和j都走不动了，i<=j，交换a[i]和a[j]，重复上面的过程，直到i>j，交换a[j]和a[center_index]，完成一趟快速排序。在中枢元素和a[j]交换的时候，很有可能把前面的元素的稳定性打乱，比如序列为 5 3 3 4 3 8 9 10 11，现在中枢元素5和3（第5个元素，下标从1开始计）交换就会把元素3的稳定性打乱，所以快速排序是一个不稳定的排序算法，不稳定发生在中枢元素和a[j]交换的时刻。

（5）归并排序

　　归并排序是把序列递归地分成短序列，递归出口是短序列只有1个元素（认为直接有序）或者2个元素（1次比较和交换），然后把各个有序的短序列合并成一个有序的长序列，不断合并直到原序列全部排好序。可以发现，在1个或2个元素时，1个元素不会交换，2个元素如果大小相等也不交换，这不会破坏稳定性。那么，在短的有序序列合并的过程中，稳定性是否受到破坏？没有，合并过程中我们可以保证如果当前元素相等时，我们把处于前面的序列保存在结果序列前面，这样就保证了稳定性。所以，归并排序也是稳定的排序算法。

（6）基数排序

　　基数排序是按照低位先排序，然后收集；再按照高位排序，然后再收集；依次类推，直到最高位。有时候有些属性是有优先级顺序的，先按低优先级排序，再按高优先级排序，最后的次序就是高优先级的在前，高优先级相同的低优先级高的在前。基数排序基于分别排序、分别收集，所以其是稳定的排序算法。

（7）希尔排序

　　希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序，当刚开始元素很无序的时候，步长最大，所以插入排序的元素个数很少，速度很快；当元素基本有序了，步长很小，插入排序对于有序的序列效率很高。所以，希尔排序的时间复杂度会比O(n^2)好一些。由于多次插入排序，我们知道一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以shell排序是不稳定的。

（8）堆排序

　　我们知道堆的结构是节点i的孩子为2*i和2*i+1节点，大顶堆要求父节点大于等于其2个子节点，小顶堆要求父节点小于等于 其2个子节点。在一个长为n的序列，堆排序的过程是从第n/2开始和其子节点共3个值选择最大（大顶堆）或者最小（小顶堆），这3个元素之间的选择当然不会破坏稳定性。但当为n/2-1，n/2-2，......1这些个父节点选择元素时，就会破坏稳定性。有可能第n/2个父节点交换把后面一个元素交换过去了，而第n/2-1个父节点把后面一个相同的没有交换，那么这2个相同的元素之间的稳定性就被破坏了。所以，堆排序不是稳定的排序算法。

注意：在排序算法中，只与相邻数据进行交换而不进行跳跃的称为稳定算法（稳定算法的本质意义是排序前后值相等的元素前后位置不变）

算法	时间复杂度	稳定性	与简单排序的联系
冒泡排序	n2	稳定
简单选择排序	n2	稳定
直接插入排序	n2	稳定
希尔排序	nlogn	不稳定	插入
堆排序	nlogn	不稳定	选择
归并排序	nlogn	稳定
快速排序	nlogn	不稳定	冒泡

　　综上，得出结论：选择排序、快速排序、希尔排序、堆排序不是稳定的排序算法，二冒泡排序、插入排序、归并排序和基数排序是稳定的排序算法。还有一些排序算法没有总结，后续会继续......