从你谷日爆到贝叶斯

引入

如果小 A 的预言准确率为 \(90\%\)，小 B 的预言准确率为 \(30\%\)

他们在今天 \(00:00:00\) 同时预言洛谷今天会炸，求洛谷今天会炸的概率

解法

为了求 Luogu 炸掉的概率，我们可以使用贝叶斯定理

设事件 \(A\) 表示 Luogu 炸掉，事件 \(B\) 表示小 A 和小 B 都预言 Luogu 会炸

已知：

• 小 A 的预言准确率为 \(90\%\)，即 \(P(B_A|A)=0.9\)，\(P(B_A|\neg A)=0.1\)

• 小 B 的预言准确率为 \(30\%\)，即 \(P(B_B|A)=0.3\)，\(P(B_B|\neg A)=0.7\)

我们要求的是 \(P(A|B)\)，即在小 A 和小 B 都预言 Luogu 会炸的情况下，Luogu 实际上会炸的概率

首先，假设 Luogu 炸掉和不炸掉的先验概率相等，即 \(P(A)=P(\neg A)=0.5\)

利用贝叶斯定理，我们有：

\[P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \]

其中，\(P(B|A)\) 是在 Luogu 会炸的情况下小 A 和小 B 都预言 Luogu 会炸的概率：

\[P(B|A)=P(B_A \cap B_B|A)=P(B_A|A) \cdot P(B_B|A)=0.9 \times 0.3=0.27 \]

\(P(B|\neg A)\) 是在 Luogu 不会炸的情况下小 A 和小 B 都预言 Luogu 会炸的概率：

\[P(B|\neg A)=P(B_A \cap B_B|\neg A)=P(B_A|\neg A) \cdot P(B_B|\neg A)=0.1 \times 0.7=0.07 \]

\(P(B)\) 是小 A 和小 B 都预言 Luogu 会炸的总体概率，可以通过全概率公式求得：

\[P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|\neg A)P(\neg A)=0.27 \times 0.5+0.07 \times 0.5=0.135+0.035=0.17 \]

因此：

\[P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}=\frac{0.27 \times 0.5}{0.17}=\frac{0.135}{0.17} \approx 0.794 \]

所以，在小 A 和小 B 都预言 Luogu 会炸的情况下，Luogu 实际上会炸的概率大约为 \(79.4\%\)。

贝叶斯定理

假设有事件 \(A,B\)

• \(P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

• \(P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)

• \(\frac{P(A|B)}{P(B|A)}=\frac{P(A)}{P(B)}\)

• \(P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\)

注意：

\(P(A)\) 是 \(A\) 的先验概率，之所以称为“先验”是因为它不考虑任何 \(B\) 方面的因素

\(P(A|B)\) 是已知 \(B\) 发生后 \(A\) 的条件概率，也由于得自 \(B\) 的取值而被称作 \(A\) 的后验概率，\(P(B|A)\) 同理

\(P(B)\) 是 \(B\) 的先验概率，也作标淮化常量（\(normalizing\ constant\)）

即贝叶斯定理可写为：

\[后验概率=\frac{相似度 \times 先验概率}{标淮化常量} \]

通常，事件 \(A\) 在事件 \(B\) 发生的条件下的概率，与事件 \(B\) 在事件 \(A\) 发生的条件下的概率是不一样的；然而，这两者是有确定关系的，贝叶斯定理就是这种关系的陈述

贝叶斯公式的用途在于通过己知三个概率来推测第四个概率。它的内容是：在 \(B\) 出现的前提下，\(A\) 出现的概率等于 \(A\) 出现的前提下 \(B\) 出现的概率乘以 \(A\) 出现的概率再除以 \(B\) 出现的概率。通过联系 \(A\) 与 \(B\)，计算从一个事件发生的情况下另一事件发生的概率，即从结果上溯到源头（也即逆向概率）

通俗地讲就是当你不能确定某一个事件发生的概率时，你可以依靠与该事件本质属性相关的事件发生的概率去推测该事件发生的概率，即逆推概率

用数学语言表达就是：支持某项属性的事件发生得愈多，则该事件发生的的可能性就愈大。这个推理过程有时候也叫贝叶斯推理。