一些常用的柿子(数论)

二项式 ZYF's Blog

组合数:

\[\begin{aligned} \dbinom{n}{k}&=\frac{n!}{k!(n-k)!}\\ \\ \dbinom{n}{k}&=\dbinom{n}{n-k}(n\in\mathbb N,k\in\mathbb Z)\\ \\ \dbinom{n}{k}&=\frac{n}{k}\dbinom{n-1}{k-1}(k\in\mathbb Z,k不为0)\\ \\ \dbinom{n}{k}&=\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n-1}{k-1}(k\in\mathbb Z) \end{aligned} \]

二项式定理:

\[(a+b)^k=\sum_{i=0}^k \dbinom{k}{i} a^ib^{k-i}(r \in \mathbb N) \]

一些拓展

\[\begin{aligned} &\sum_{k\le n}\dbinom{r+k}{k}=\dbinom{r+n+1}{n}(n\in \mathbb Z)\\ \\ &\sum_{k=0}^n\dbinom{k}{m}=\dbinom{n+1}{m+1}(n,m\in \mathbb N)\\ \\ &\dbinom{r}{k}=(-1)^k\dbinom{k-r-1}{k}(k\in \mathbb Z)\\ \\ &\dbinom{r}{m}\dbinom{m}{k}=\dbinom{r}{k}\dbinom{r-k}{m-k}(k,m\in \mathbb Z)\\ \end{aligned} \]

卷积

范德蒙德卷积

\[\sum_{i=0}^k\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{n+m}{k} \]

一些推广

\[\begin{aligned} &\sum_{i=-r}^s\dbinom{n}{r+i}\dbinom{m}{s-i}=\dbinom{n+m}{r+s}\\ \\ &\sum_{i=1}^n\dbinom{n}{i}\dbinom{n}{i-1}=\dbinom{2n}{n-1}\\ \\ &\sum_{i=0}^m\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{i}=\dbinom{n+m}{m}\\ \\ &\sum_{i=-n}^{l-m}\dbinom{l}{m+i}\dbinom{r}{n+i}=\dbinom{l+r}{l-m+n}(l\in\mathbb N)\\ \\ &\sum_k\dbinom{l}{m+k}\dbinom{s+k}{n}(-1)^k=(-1)^{l+m}\dbinom{s-m}{n-l}\\ \\ &\sum_k\dbinom{l-k}{m}\dbinom{s}{k-n}(-1)^k=(-1)^{l+m}\dbinom{s-m-1}{l-m-n}\\ \\ &\sum_{k=-s}^l\dbinom{l-k}{m}\dbinom{s+k}{n}=\dbinom{l+s+1}{m+n+1}\\ \\ \end{aligned} \]

狄利克雷卷积 old blog

\[h(x)=\sum_{d|x}f(d)g(\frac{x}{d})=\sum_{ab=x}f(a)g(b) \]

可简写成:

\[h=f * g \]

性质

\[f*g=g*f \]

\[(f*g)*h=f*(g*h) \]

\[(f+g)*h=f*h+g*h \]

\[f*h=g*h\ (h_1不为0) \]

\[ε*f=f \]

一些推论

两个积性函数的迪利克雷卷积也是积性函数

积性函数逆元也是积性函数

另一些推论

\[\mu*1=ε \]

\[\phi*1=id \]

\[\mu*id=\phi \]

反演 UOJ PPT

二项式反演

\(f_n\) 表示恰好使用 \(n\) 个不同元素形成特定结构的方案数, \(g_n\) 表示从 \(n\) 个不同元素中选出 \(i \geq 0\) 个元素形成特定结构的总方案数。

\[g(n)=\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}f(i) \]

\[f(n)=\sum_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}(-1)^{n-i}g(i) \]

莫比乌斯反演

\(f\) 为算数函数(对所有正整数定义的函数),\(F\)\(f\) 的和函数,对任意的 \(n\in \mathbb N^+\) 满足:

\[F(n)=\sum_{d|n}f(d) \]

\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d}) \]

子集反演

\[f(S)=\sum_{T\sube S}g(T) \]

\[g(S)=\sum_{T\sube S}(-1)^{|S|-|T|}f(T) \]

一些求和的柿子

\[\begin{aligned} &\sum_{i=l}^{r}i=\frac{(r+l)(r-l+1)}{2} \\ &\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6} \\ &\sum_{i=1}^{n}k^{i-1}a=\frac{a(1-k^n)}{1-k}(k不为1) \\ &\sum_{i=1}^{\infty}k^{i-1}a=\frac{a}{1-k}(|k|<1) \end{aligned} \]

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