微坤分入门（简单）

黎曼和

假设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上非负连续，那么曲线 \(y=f(x)\) 和直线 \(x=a,x=b\) 以及 \(x\) 轴就围成了一个曲边梯形。为了求解这个曲边梯形的面积 \(S\)，我们在这个区间 \([a,b]\) 中插入一组点 \(a=x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_n=b\)，将区间 \([a,b]\) 分划为 \(x\) 个子区间 \([x_{i-1},x_i](i=1,2,3,\cdots,n)\) 用直线 \(x=x_i\) 将曲边梯形分划为 \(n\) 个细条，将每一个细条近似地看做一个矩形，用函数 \(f(x)\) 在区间 \([x_{i-1},x_i]\) 内的任何一个点 \(\xi_i\) 处的函数值作为矩形的高，这样一来，第 \(i\) 个细条的面积 \(\triangle S_i\) 就可以近似地表示为 \(f(\xi_i)\triangle x_i\)，其中 \(\triangle x_i=x_i-x_{i-1}\) 为细条的宽度。进而，整个曲边梯形的面积 \(S\) 就可以近似地表示为

\[S\approx\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\triangle x_i \]

这个和式也被称作黎曼和。

积分

设函数 \(f(x)\) 是定义在区间 \([a,b]\) 上的有界函数，且如果

\[\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\triangle x_i \]

极限存在，那么称 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上（黎曼）可积，记作 \(f\in R[a,b]\) 。并将这个极限称作 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的（黎曼）积分，记作

\[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x \]

其中 \(a\) 称作积分下限，而 \(b\) 称作积分上限。

牛顿-莱布尼茨公式

原公式

设 \(f\in C[a,b]\) ，如果 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上的一个原函数，即 \(F'(x)=f(x)\)，我们记 \(F(b)-F(a)\) 为 \(F(x)|_a^b\)，那么

\[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=F(x)|_a^b=F(b)-F(a) \]

证明

定义一个变上限积分函数（可当做函数理解）\(\Phi(x)=\int_a^xf(x)\mathrm{d}x\)

让函数 \(\Phi(x)\) 获得增量 \(\Delta x\) 得到

\[\int_a^{x+\Delta x}f(x)\mathrm{d}x-\int_a^x f(x)\mathrm{d}x=\int_x^{x+\Delta x}f(x)\mathrm{d}x \]

积分中值定理
若函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则在积分区间 \([a,b]\) 上至少存在一个点 \(\varepsilon\)，使得：

\[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=f(\varepsilon)(b-a) \]

根据【积分中值定理】可得：

\[\Phi(x)=\int_x^{x+\Delta x}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi)\Delta x \]

\[\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta \Phi}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(\xi)\Delta x}{\Delta x}=\lim\limits_{\xi \to x}f(\xi)=f(x) \]

所以

\[\Phi'(x) = f(x) ,\Phi(x)=F(x)+C \]

这里加上一个 \(C\) 是因为 \((C)'=0\)

又因为 \(\Phi(a) = f(a)+C=0\) 所以 \(C=-F(a)\)，即 \(\Phi(x)+F(a)=F(x)\)

所以

\[\Phi(b)=F(b)-F(a); \]

即

\[\int_a^bf(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a) \]

证毕