孩子们的游戏（圆圈中最后剩下的数）

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题目描述

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)
如果没有小朋友，请返回-1

思路：

根据题目描述，这就是一个约瑟夫环的问题。

定义一个关于m 和n的方程，f(n,m),表示n个数字0,1,2，….n-1;
中每次删除第m个数字最后剩下的数字。
第一个被删除的数字（m-1）%n.
例如0,1,2,3,4,5，删除第3个，即2，那么（3-1）%6=0….2,商0余2，所以2就是那个被删除的数。
在删除第m个数字(定义为k)之后的序列为
0,1,2，…k-1,k+1,…n-1;
在进入下一次循环时删除第m个的时候从第k+1个数开始，这个序列为k+1，，，n-1,0,1,…k-1;函数因此定为f(n-1,m)
再将这个映射我从0开始的序列，如下：
K+1 → 0；
K+2 → 1;
…
n-1 → n-1-(k+1)=n-k-2;
0 → n-k-2+1=n-k-1;
1 → n-k;
…
k-1 → n-k-1+（k-1）=n-2;
映射p(x)=p(x-k-1)%n;表示映射钱的数字是x,映射后的数字是x-k-1。逆映射为
P(x)=(x+k+1)%n.
这里记住无论循环多少次删除第m个元素最后剩下的数字是一样的。
有f*(n-1,m)=P*( f(n-1,m))=( f(n-1,m)+k+1)%n.=（f(n-1,m)+m）%n.
因为k=(m-1)%n=(m-1)

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n < 1|| m <1)
            return -1;
        int last = 0;
        for(int i =2;i <= n ;i++)
            last = (last + m)%i;
        return last;
    }
};

另一种方法采用数组来模拟环的效果，依次寻找第m个数，其中要涉及对要删除元素值的改变，以及注意开始遍历元素下标的处理

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n<1|| m<1)
            return -1;
        int elem[n];
        for(int i = 0;i < n;i++)
            elem[i] = i;
        int i = -1,step = 0,count = n;//i用于记录起始位置，step用于寻找m，count剩下的数目
        
        while(count>0)//跳出循环时将最后一个元素也设置为了-1
        {
            i++;//指向上一个被删除对象的下一个元素
            if(i >= n)//模拟环
                i = 0;
            if(elem[i] == -1)//跳过被删除的对象
                continue;
            step++;//记录已走过的
            if(step == m)//找到待删除对象
            {
                elem[i] = -1;
                step =0;
                count--;
            }
        }
        return i;
    }
};