学习笔记：傅里叶变换

本文目的是方便地理解傅里叶变换，不一定要掌握原理和计算方法，只要会用即可。

一、傅里叶级数

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为它的傅里叶级数，即：

$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)]$$

也有另外一种写法：

$$f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(n\omega t+\psi_n)$$

即分解为无数个余弦函数，带有各自的频率和相位。

傅里叶级数

二、非周期函数的频率拆分

注意到傅里叶级数中的频率都是$f(x)$频率的倍数。随着$f(x)$的周期变大，其频率变小，那么傅里叶级数中的频率间隔变小。当T接近无限大，即$f(x)$没有周期时，傅里叶级数的频率会变得连续。也就是：
周期函数的频率组成是离散的；
非周期函数的频率组成是连续的。

周期函数与非周期函数的频率图

三、傅里叶级数的求法

其基础是三角函数的正交性：频率不同的三角函数（$\sin(nx)$或$\cos(mx)$）相乘在一个周期内(x从-π到π)的积分必定为0

傅里叶级数表达式为：

$$f\left(t\right)=c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\cos\left(n\omega t+\varphi\right)$$

令$a_n=c_n\cos\varphi,\ b_n=-c_n\sin\varphi$，可以变换成：

$$f\left(t\right)=c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}\cos(\text{n}\omega\text{t})+b_{n}\sin(\text{n}\omega\text{t})\right]$$

对上式两边同时乘上$\sin(k\omega t)$并在一个周期上积分，得到：

$$\begin{aligned} \int_0^Tf\left(t\right)\sin(k\omega t)\mathrm{d}t=& \int_0^Tc_0\sin(k\omega t)\mathrm{d}t+\\ &\int_0^T\sin(k\omega t) \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)\right]\mathrm{d}t \end{aligned}$$

根据三角函数的正交性，左边$\int_0^Tf\left(t\right)\sin(k\omega t)dt$只剩k频率$b_k\int_0^T\sin(k\omega t)^2dt$等于$b_k\frac{T}{2}$；右边$\int_0^Tc_0\sin(k\omega t)\mathrm{d}t=0$，也就得到了：

$$b_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f\left(t\right)\sin(n\omega t)\mathrm{d}t$$

同理，

$$a_n=\frac{2}{T}\int_0^Tf(t)\cos(n\omega t)\text{d}t$$

变换回去，也就是：

$$\begin{aligned}c_n&=\sqrt{{a_n}^2+{{b_n}^2}}\\\\\varphi&=\arctan\left(-\frac{b_n}{a_n}\right)\end{aligned}$$

四、傅里叶级数的复数表示

根据欧拉公式，$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$
利用$\cos\theta$是偶函数，$\sin\theta$是奇函数的性质，可以得到：

$$\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\ \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$

带入傅里叶级数中，并化简，得到：

$$f\left(t\right)=c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}{[\frac{\left(a_{n}-jb_{n}\right)}{2}e^{jn\omega t}+\frac{\left(a_{n}+jb_{n}\right)}{2}e^{-jn\omega t}]}$$

由于：
$\begin{aligned}a_{-n}&=\frac{2}{T}\int_0^Tf\left(t\right)\cos(-n\omega t)\text{dt}=a_n\\\\b_{-n}&=\frac{2}{T}\int_0^Tf\left(t\right)\sin(-n\omega t)dt=-b_n\end{aligned}$
令$A_{n}={\frac{(a_{n}-jb_{n})}{2}}$，可将上式化简为：

$$f\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}A_{n}e^{jn\omega t}$$

再次利用三角函数的正交性，向两边同时乘一个$e^{-jk\omega t}$，再在一个周期内积分，得到：

$$\int_0^Tf(t)e^{-jk\omega t}dt=\int_0^T\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_ne^{j(n-k)\omega t}dt$$

左边$\int_0^Tf(t)e^{-jk\omega t}dt=\int_0^T A_ne^{jk\omega t} e^{-jk\omega t}dt=A_kT$
也就是：

$$A_n=\frac{1}{T} \int_0^Tf(t)e^{-jn\omega t}dt$$

五、将$T$推向$\infty$

$\omega=\frac{2\pi}{T}\to 0$。$A_n$不再是离散的，写成$F(\omega)$。变为

$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega$$

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$$

（对其中怎么推的还不清楚）

六、用质心的思想理解傅里叶变换

将$e^{-i\omega t}$看作是一个不停旋转的方向，其中$w$是超参数，$t$是自变量。那么$f(t)e^{-i\omega t}$就是向这个方向伸长了多少。随着自变量$t$的变化，$f(t)$将螺旋状地产生轨迹，那么上面的$F(\omega)$就是在$\omega$的转速下，$f(t)$形成的轨迹的质心。

傅里叶变换与质心

当原曲线和转速不匹配时，轨迹会相对均匀地分布，质心距离原点近；当原曲线和转速匹配时，轨迹就会偏向于某一边，质心距离原点远。

如果画出在不同转速下，质心与原点的距离，这样得到的曲线，就是它的频率的组成分析，也就是傅里叶变换（其实还是有点不一样的，因为得到的只是一个复数）。

七、图像的傅里叶变换

将离散的复数形式的傅里叶变换，进行相应改写：

$$F(u,v)=\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(ux/M+vy/N)}$$

（为什么e的幂直接是两个相加呢）
（如果我没有理解错的话，$u\in[0,2M],v\in[0,2N]$）

这样，$f(u,v)$表示方向为从中心到(u,v)，频率为(u,v)到中心的距离（具体是什么距离，我不清楚）的三角函数。是一个复数，包含了振幅和相位信息。（所以具有中心对称性是吧）

图片傅里叶变换-未中心化

图片傅里叶变换-未中心化-物理含义

图片傅里叶变换-中心化

实际上，应该分别画出实部和虚部才完整：

图像傅里叶变化及旋转

中心点是全图灰度的均值（其它位置我暂时还无法理解）

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摘抄自：

1. b站：【官方双语】形象展示傅里叶变换
2. 知乎：傅里叶变换推导详解
3. 知乎：通俗讲解：图像傅里叶变换

可供参考的：

• 知乎：直观理解傅里叶分析及在图像上的应用
• csdn：《数字图像处理》-（3）-1从傅里叶级数到傅里叶变换详细推导以及傅里叶图像的性质