Vijos 连续数之和 (组合数学)

描述

有n个正整数排成一行。你的目的是要从中取出一个或连续的若干个数，使它们的和能够被k整除。

例如，有6个正整数，它们依次为1、2、6、3、7、4。若k=3，则你可以取出1、2、6，或者2、6、3、7，也可以仅仅取出一个6或者3使你所取的数之和能被3整除。当然，满足要求的取法不止以上这4种。事实上，一共有7种取法满足要求。

给定n和k，以及这n个数。你的任务就是确定，从这n个数中取出其中一个数或者若干连续的数使它们的和能被k整除有多少方法。

由于取法可能很多，因此你只需要输出它mod 1234567的值即可。

格式

输入格式

第一行有两个正整数，分别代表n和k。输入数据保证有n<=500 000，k<=100 000。

以下n行每行一个正整数。这些正整数保证都不大于10 000。

输出格式

一个正整数。它应该是你的答案mod 1234567的结果。

样例1

样例输入1

6 3
1
2
6
3
7
4

Copy

样例输出1

7

Copy

限制

各个测试点1s

来源

Matrix67 根据经典问题改编

 

/*
    我们设sum为前缀和 
    首先要知道
    (sum[j]-sum[i])%k==0 --> sum[j]%k==sum[i]%k
    假设 sum[k]==sum[l]  那么 sum[k]-sum[l]==0
    也就是 在[l+1,k]这段区间连续的和可以被k整除
    那么假设 sum[i],sum[j],..sum[k]（共bn个） 
    都是 MOD k 余数为k-1的sum 
    只需要从中任意取两个 就可以构成一个连续的区间的和可以整除k
    
    注意余数为0 要单独加一次 
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define MAXN 500010
#define MOD 1234567

using namespace std;

int n,k;
long long ans,a[MAXN];

int b[100010];

inline void read(int&x) {
    x=0;int f=1;char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}
    x=x*f;
}

inline int c(int N,int M) {
    return (N*(N-1)/2)%MOD;
}

int main() {
    int temp=0;
    read(n);read(k);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        read(temp);
        a[i]=a[i-1]+temp;
        ++b[a[i]%k];
    }
    ans+=b[0];
    for(int i=0;i<k;i++) {
        if(b[i]>=2)
          ans=(ans+c(b[i],2))%MOD;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}