最小生成树-Prim算法和Kruskal算法

Prim算法

Prim算法是一种产生最小生成树的算法。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。

Prim算法从任意一个顶点开始，每次选择一个与当前顶点集最近的一个顶点，并将两顶点之间的边加入到树中，从而找到最短路径

1. 在一个加权连通图中，顶点集合为V，边集合为为E。

2从任意一个顶点开始，把它加入集合S，遍历所有的点到集合的距离，用dis[i]表示，dis[i]表示集合到第i个的点最小距离，遍历dis[i]找到集合S点最近的且不在集合S中的点，把找到的点加入集合S.

3遍历加入的点到所有不在集合S的点,如果加入的点到第i个点的距离比dis[i]上的少的话，更新dis[i];

4重复3的操作,直到所有点加入集合S.

代码

//mp[i][j]表示i到j的距离
for(int i=1;i<=k;i++)
{
        dis[i]=mp[1][i];//把1加入集合，dis[i]表示1到i的距离
}
vis[1]=1;//标记已加入集合
for(int i=2;i<=k;i++)//遍历剩下的点
{
    t=0;
    Min=inf;//初始化
    for(int j=2;j<=k;j++)
    {
        if(!vis[j]&&dis[j]<Min)//如果j不在集合里，且是最小距离的点
        {
            Min=dis[j];//更新最小值
            t=j;//记录最小的点编号
        }
    }
    vis[t]=1;//把找到的点加入集合
    sum+=Min;//长度加Min
    for(int j=2;j<=k;j++)//更新dis[i]
    {
         if (!vis[j]&&(mp[t][j]<dis[j]))//如果还没有加入集合,并且t到j的距离小于dis[j],
         {
            dis[j]=mp[t][j];//更新
         }
    }
}

Kruskal算法

Kruskal是另一个计算最小生成树的算法，其算法原理如下。首先，将每个顶点放入其自身的数据集合中。然后，按照权值的升序来选择边。当选择每条边时，判断定义边的顶点是否在不同的数据集中。如果是，将此边插入最小生成树的集合中，同时，将集合中包含每个顶点的联合体取出，如果不是，就移动到下一条边。重复这个过程直到所有的边都探查过。

也就是用并查集来表示是否在同一个集合，再用排序找到最小的点；

代码：

struct node//定义一个结构体来储存相关信息
{
    int x;
    int y;
    int num;
}a[maxn];
bool cmp(node A, node B)//排序
{
    return A.num < B.num;
}
int find(int root)//找到根节点
{
    int son = root, temp;
    while (root != pre[root])
    {
        root = pre[root];
    }
    while (son != root)
    {
        temp = pre[son];
        pre[son] = root;
        son = temp;
    }
    return root;
}
int main()
{
                scanf("%d%d", &n, &m);//n个顶点，m条边
        for (int i = 1; i <= n; i++)//初始化并查集数组
        {
            pre[i] = i;
        }
        for (int i = 1; i <= m; i++)//读入m条边
        {
            scanf("%d%d%d", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].num);
        }
        sort(a + 1, a + m + 1, cmp);//排序
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            fx = find(a[i].x);
            fy = find(a[i].y);
            if (fx != fy)//这两个点不在同一集合，也就是没有连通
            {
                pre[fx] = fy;//连起来
                sum += a[i].num;        
            }
        }
        
}