prufer序列--学习笔记
prufer编码
\(prufer\)序列可以将一个代标号的\(n\)个节点的树用\([1，n]\)中的\(n-2\)个整数表示，可以理解为完全图的生成树与数列之间的双射。
出自OI Wiki
有关无根树转\(prufer\)编码，\(prufer\)编码转无根树等内容可以去\(OI Wiki\)上看
这里只介绍\(prufer\)序列的性质：
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\(prufer\)序列与无根树一一对应
相信看完了上面的链接以后您已经懂了。
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度数为\(d_i\)的节点会在\(prufer\)序列中出现\(d_i-1\)次
根据构造方法，当某个点度数为\(1\)时会被删掉，否则每次删掉一个相邻节点，它就会入列一次。
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一个\(n\)个节点的完全图的生成树个数为\(n^{n-2}\)
对于一个有\(n\)个节点无根树，它的\(prufer\)序列长为\(n-2\)，而每个位置有\(n\)种可能性，所以共有\(n^{n-2}\)种情况。
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对于度数为\(d_{1-n}\)的一颗无根树共有\(\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^{n}{(d_i - 1)!}}\)种情况
由性质2，度数为\(d_i\)的节点会在\(prufer\)序列中出现\(d_i-1\)次。所以就是\(n-2\)个位置选出\(d_i-1\)（\(1\leq i\leq n\)）的可重全排列了。
可重全排列/选排列公式：
- 可重全排列：在\(n\)个元素中，有\(n_1\)个元素彼此相同，有\(n_2\)个元素彼此相同……又有\(n_m\)个元素彼此相同，且\(n_1+n_2+\cdot\cdot\cdot+n_m=n\)，则这\(n\)个元素的全排列就是可重全排列。其公式为：\(n!/(n_1!\times n_2!\times \cdot\cdot\cdot\times n_m!)\)。
- 可重选排列：仍是上面拿个序列，从中选出\(r\)个的选排列就是可重选排列。其公式为：\(A(n,r)/(n_1!\times n_2!\times \cdot\cdot\cdot\times n_m!)\)。
然后就可以愉快地做题了！
模板题Luogu2290
利用最后一个性质即可，注意不要运算过程中爆\(long\;long\)，还有记得判无解。
细节还是蛮多的……
参考代码
/*
* @Author: When_C
* @Date: 2020-11-18 19:01:40
* @Last Modified by: When_C
* @Last Modified time: 2020-11-18 19:29:58
*/
#include <cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn = 210;
LL n,d[maxn],Ans,f,sum;
LL gcd(LL x, LL y){
if(!y) return x;
return gcd(y, x % y);
}
int main(){
scanf("%lld", &n);
for(int i = 1; i <= n; ++ i) scanf("%lld", &d[i]);
if(n == 1 && d[1] == 0) return printf("1\n"), 0; //注意这个特判！！！
Ans = f = 1; int now = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++ i){
if(!d[i]) return printf("0\n"), 0;
sum += d[i] - 1;
for(int j = 2; j <= d[i] - 1; ++ j){
f *= j;
while(Ans < f && now < n - 2) Ans *= (++now);
LL val = gcd(Ans, f);
Ans /= val; f /= val;
}
}
if(sum != n - 2) return printf("0\n"), 0;
while(now < n - 2){
Ans *= (++now);
if(Ans % f == 0 && f != -1) Ans /= f, f = -1;
}
if(f != -1) Ans /= f;
printf("%lld\n", Ans);
return 0;
}
