Luogu3166 [CQOI2014]数三角形（排列组合）题解

结论题

先给结论吧：

一个两直角边分别为\(x\)，\(y\)的格点直角三角形（即在网格图上），其斜边上的整点数量为\(gcd(x,y)+1\)（包含两端点）.

貌似看完结论还是不会呢

思路

首先声明：本题是格点图，所以要把行数列数都加上\(1\)。

先简单容斥一下，合法三角形数量\(=\)从格点图上任选三个点的方案数\(-\)选出的三点共线的方案数。

• 任选三点：\(C(n*m,3)\)

• 三点共线：

  • 横线：共有\(n\)行，每行都是从\(m\)个数中选\(3\)个，即为\(C(m,3)*n\)；

  • 竖线：共有\(m\)列，每列都是从\(n\)个数中选\(3\)个，即为\(C(n,3)*m\)；

  • 斜线：斜率为正的斜线与斜率为负的斜线是等价的，故放在一起考虑。根据先前的结论，我们可以枚举两点之间行与列的差值\(i\)与\(j\)，那么第三个点就可以选择前两个点之间连线上的任意一个整点，即有\(gcd(i,j)-1\)种方案（点与点不能重合）。所以斜线的方案总数为：

    \[2\times \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}{(n-i)\times(m-j)\times (gcd(i,j)-1)} \]

最后作差即可。

Tips

这里求组合数需要高效的\(O(n)\)算法，即：

\(C(n,m)=C(n,m-1)*(n-m+1)/m\)

边界条件：\(C(n,0)=1\)。（注意要先乘后除）

事实上，本题还有\(O(n)\)的算法，有兴趣的同学可以自行了解。

参考代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define LL long long

using namespace std;

int n,m;
LL Ans;

LL C(int x, int y){
    if(y > x) return 0;
    if(y == 0 || y == x) return 1;
    if(y == 1) return x;
    if(y > x - y) y = x - y;
    return (LL)(x - y + 1) * C(x, y - 1) / y;
}

int gcd(int x, int y){
    if(y == 0) return x;
    return gcd(y, x % y);
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m); n += 1, m += 1;
    Ans = C(m * n, 3);
    Ans -= C(m, 3) * n + C(n, 3) * m;
    LL f = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++ i)
        for(int j = 1; j <= m; ++ j){
            f += (n - i) * (m - j) * (gcd(i, j) - 1);
        }
    printf("%lld\n", Ans - f * 2);
    return 0;
}