Luogu3845 [TJOI2007]球赛（Dilworth定理）题解

前置芝士

\(Dilwoth\)定理\(or\)你已经做了导弹拦截

什么是\(Dilworth\)定理？

对于任意有限偏序集，其最大反链中元素的数目必等于最小链划分中链的数目.

​ --百度百科

或许你可以通过这篇神的博客学习一下。

事实上，对于本题而言，所有的比分信息就是偏序集，而我们要求的就是最小链划分，即为最大反链长度，更具体的，就是最长严格下降子序列的长度

思路

首先，我们将所有信息按照\(y\)或者\(x\)排序，这样就保证了其中一维的有序，然后根据另一维求一遍最长下降子序列就可以了。

Tips

其实本题最优秀的复杂度应为\(n\log n\)，但是本题只要求\(n^2\)，为了提升水平打最优解，建议用\(n\log n\)算法求最长下降子序列。本题解中也是用的这个复杂度的算法。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define LL long long

using namespace std;

const int maxn = 2020;
int n,top;
LL b[maxn];
struct Gam{
    LL x,y;
}g[maxn];

bool cmp(Gam a, Gam b){return a.x == b.x ? a.y < b.y : a.x < b.x;}

int main(){
    int T; scanf("%d", &T);
    while(T--){
        top = 0;
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i <= n; ++ i){
            scanf("%lld-%lld", &g[i].x, &g[i].y);
            if(g[i].x > g[i].y) swap(g[i].x, g[i].y);
        } sort(g + 1, g + 1 + n, cmp);
        b[++top] = g[1].y;
        for(int i = 2; i <= n; ++ i){
            if(g[i].y < b[top]) b[++top] = g[i].y;
            else{
                int h = top, l = 1;
                while(h >= l){
                    int mid = (h + l) >> 1;
                    if(b[mid] <= g[i].y) h = mid - 1;
                    else l = mid + 1;
                } b[h + 1] = g[i].y; //printf("%d\n", h + 1);
            }
        } printf("%d\n", top);
    }
    return 0;
}