并 查 集

并查集（union-find sets）是一种精巧而实用的数据结构，主要用于求一些不相关的集合的合并问题。常见的一些问题如求子连通图，（求最小生成树的 Kruskal 算法和求最近公共祖先（Least Common Ancestors, LCA）等。）。

使用并查集时，首先会存在一组不相关的动态集合，一般会使用一个整数代表一个集合中的元素。

每个集合中使用谁做集合的代表都是可以的，主要是要可以迅速寻找到是否几个元素存在一个集合中，给定指定的元素可以迅速判断这个元素属于哪个集合。（我们关心的是，对于给定的元素，可以很快的找到这个元素所在的集合（的代表），以及合并两个元素所在的集合，而且这些操作的时间复杂度都是常数级的。）

并查集的三个基本操作：

1.makeset（）：初始化给定的元素，以自身作为祖先（根节点）。（建立一个新的并查集，其中包含 s 个单元素集合。）

2.unionset（x,y):将不同集合中的元素根据关系连通成为一个集合，即把元素 x 和元素 y 所在的集合合并，要求 x 和 y 所在的集合不相交，如果相交则不合并。

3.find（x）：对于给定的元素进行查找，并返回其所在集合的代表。（该操作也可以用于判断两个元素是否位于同一个集合，只要将它们各自的代表比较一下就可以了。）

并查集优化即及代码：

1.初始化

int fa[maxn];//根节点
int rank[maxn];//高度
int n,m,t;
void makeset(){
    for(int i=1; i<=n; i++)//初始化 
    {
        fa[i]=i;//初始时每个集合的父节点都是自己，即自己代表自己
        rank[i]=0;//集合只有自己，树高为0
    }
} 

2.合并操作

一般的合并操作就是将一个集合的根指向另一个集合，而没有方向。

这里有一种启发式策略---按秩合并。按秩合并是将较低秩的集合指向较高秩的集合，（该方法使用秩来表示树高度的上界，）即在合并时，将树高较低的指向较高的集合。

为了保存秩，需要额外使用一个于fa[]相同的大小的数组保存，并初始化为零。

void unionset(int x, int y){//按秩合并 
    x=find(x);
    y=find(y);
    if(x==y) return ;
    if(rank[x]<rank[y])//比较秩的大小 
        fa[x]=y;
    else    //rank[x]>=rank[y] 
    {
        fa[y]=x;
        if(rank[x]==rank[y]) //在秩（树高度）相等时，将x当作y的祖先，x的高度加一 
            rank[x]++;
    }
    
}

（摘自一位大佬   CYJB  ）除了按秩合并，并查集还有一种常见的策略，就是按集合中包含的元素个数（或者说树中的节点数）合并，将包含节点较少的树根，指向包含节点较多的树根。这个策略与按秩合并的策略类似，同样可以提升并查集的运行速度，而且省去了额外的 rank 数组。

这样的并查集具有一个略微不同的定义，即若 uset 的值是正数，则表示该元素的父节点（的索引）；若是负数，则表示该元素是所在集合的代表（即树根），而且值的相反数即为集合中的元素个数。相应的代码如下所示，同样包含递归和非递归的 find 操作：（并不是很理解，似乎是比较两个集合的元素多少来选择将谁做代表）

const int MAXSIZE = 500;
int uset[MAXSIZE];
 
void makeSet(int size) {
    for(int i = 0;i < size;i++) uset[i] = -1;
}
int find(int x) {
    if (uset[x] < 0) return x;
    uset[x] = find(uset[x]);
    return uset[x];
}
int find(int x) {
    int p = x, t;
    while (uset[p] >= 0) p = uset[p];
    while (x != p) {
        t = uset[x];
        uset[x] = p;
        x = t;
    }
    return x;
}
void unionSet(int x, int y) {
    if ((x = find(x)) == (y = find(y))) return;
    if (uset[x] < uset[y]) {
        uset[x] += uset[y];
        uset[y] = x;
    } else {
        uset[y] += uset[x];
        uset[x] = y;
    }
}

 

3.查找

查找操作如果不做路径压缩，会极大提高时间复杂度，尤其在数据很大时会容易超时。

路径压缩是在查找操作时顺便将每个集合中的元素连接到父节点（直接将祖宗做父亲），以方便查找操作，时间复杂度o(1)。

没有路径压缩：

int fa[MAXN];  // 记录某个人的爸爸是谁，特别规定，祖先的爸爸是他自己
int find(int x) {
  // 寻找x的祖先
  if (fa[x] == x)  // 如果x是祖先则返回
    return x;
  else
    return find(fa[x]);  // 如果不是则x的爸爸问x的爷爷
}

路径压缩：

int find(int x){
    
    if(fa[x] == x) return x;
    else return fa[x] = find(fa[x]);//路径压缩 
    
}

例题：

1. 亲戚问题（最基本并查集问题）

2.广播系统（月考核）

题目描述

为了更加快速的传递学习任务，ACM集训队计划建设一个广播系统！按照规划，这个系统包含若干端点，这些端点由神奇的网络连接。
此网络有下述特点：
1.消息可以在任何一个端点产生，并且只能通过这个网络传递信息。每个端点接收消息后会将消息传送到与其相连的端点（单项传输，不会传输到那个消息发送过来的端点）
2.如果某个端点是产生消息的端点，那么消息将被传送到与其相连的每一个端点。
3.当消息在某个端点生成后，其余各个端点均能接收到消息
4.任意一个消息可以被快速的传给所有端点
现给你这个广播系统的连接方案，你能判断此系统是否符合以上要求并且传递给所有的端点？

Input

输入包含多组测试数据。每两组输入数据之间由空行分隔。
每组输入首先包含2个整数N和M，N（1<=N<=1000）表示端点个数，M（0<=M<=N*(N-1)/2）表示通信线路个数。
接下来M行每行输入2个整数A和B（1<=A，B<=N），表示端点A和B由神奇的网络相连。两个端点之间至多由一条网络直接相连，并且没有将某个端点与其自己相连的网络。
当N和M都为0时，输入结束。

Output

对于每组输入，如果所给的系统描述符合题目要求，则输出Yes，否则输出No。

sample Input

4 3
1 2
2 3
3 4

3 1
2 3

0 0

sample Output

Yes
No

这道题最重要的点是判断所给关系能否让所有元素成为一个联通块，成为一个集合且不能让集合成环。

我的思路是　　在合并时如果两个元素已经属于一个集合就不再连接（避免成环）

并且初始化sum为1，每次在集合中增加一个元素就增加1，最后判断sum和n值是否相等；

代码：

 

 

部分内容摘自

出处：http://www.cnblogs.com/cyjb/
GitHub：https://github.com/CYJB/