递推集合

前情见半年前的《为什么我总写不出递推》

emmm之前还说什么一看题解就会，现在是看了题解就知道考场上打死也想不出来（还有开long long !!!）

• 把问题分层，分成无数的子问题
• 根据递归 递推的定义，问题应具有子母问题解决方案一致的性质
• 找出第n想与他的前几项之间的关系，就是递推式（打表找规律不是盖的）

T1：错排 

对于1~n的乱序序列，有多少情况 a _i != i

由题意a1=0，a2=1，当n≥3时，在错排中n必不在第n位，设n放在第k位上（1≤k≤n-1），则第n位上有两种可能：

（1）如果第n位上不是k，那么把第n位看作第k位，将n以外的n－1个数进行错排，错排个数是a_n-1；

（2）如果第n位上是k，那么除n和k以外的n－2个数的错排是a_n-2，

所以n在第k位上的错排数共有an-1＋an-2，由于k可取1、2、3、4、……、n－1共n－1种取法

查看代码

long long work(int n)
{
    if (n == 0 || n == 1) return 0;
    else if (n == 2) return 1;
    else return (n-1) * (work(n-2) + work(n-1));
}

 T2：数的划分 

把 n 分为可重复的 k 个数（13  31算一种情况），有多少方法

f[i][j]指把数 i 分解成 j 份

因为分解的每一份不能为空，则先将每一份都分配 1，剩余数值为 i-j ，再将 i-j 分为 1 份，2份，...，j份。

即 f[i][j] = f[i-j][1]+f[i-j][2]+...+f[i-j][j]

又 f[i-1][j-1] = f[i-j][1]+f[i-j][2]+...+f[i-j][j-1]

可得 f[i][j]=f[i-j][j]+f[i-1][j-1]

查看正常代码

int main()
{
	int n,k,f[2050][2050];
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=k;j++)
		{
			if(i==j) f[i][j]=1;
			else if(i<j) f[i][j]=0;
			else if(i>j) f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
		}
	}
	printf("%d",f[n][k]);
	return 0;
}

查看我的代码

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++) f[i][1]=1;
    for(int i=2;i<=k;i++){
    	f[i][i]=1;
    	for(int j=i+1;j<=n;j++) f[j][i]+=f[j-1][i-1]+f[j-i][i];
    }
    printf("%d", f[n][k]);
    return 0;
}

 整理此题时我惊奇地发现我的做法和网上（几乎）所有代码都不一样，把 i  j 调过来。但是加或不加都能 AC。这使我突然意识到一个问题：不是所有递推式都会经过不断的累加，还有很多是单次赋值就行的，以及全局变量的优越性

T3：传球游戏

源问题：从1号位置开始传球,第m步球回到1号位置的方法数
子问题：从1号位置开始传球,第 i 步球传到 j 号位置的方法数
dp[i][j] ：表示第 i 次传球之后,球在第 j 个人手上的方法数
确定状态转移方程
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j+1]
当前状态 = 上一状态从左边传过来的方法数 + 上一状态从右边传过来的方法数
注意成环需要考虑边界左边右边的人的编号
最后dp[m][1]就表示传球m次 , 球回到1号位置的方法数

查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int dp[40][40]={0};
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    dp[0][1]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            int a=j-1;
            if(a==0) a=n;
            int b=j+1;
            if(b==n+1) b=1;
            dp[i][j]=dp[i-1][a]+dp[i-1][b];
        }
    }
    cout<<dp[m][1]<<endl;
    return 0;
}

T4：栈的问题

一个操作数序列，1,2,3，....，n，保证不会爆栈

现在可以进行两种操作：

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端

计算由操作数序列 经过操作可能得到的输出序列的总数。

这个问题可以化为构造二叉树：对于有 n 个节点的二叉树，可以构造出多少形态，详见为什么我总写不出递推

查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	int n;
	long long f[10010];
	cin>>n;
	f[0]=1;
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<i;j++)
			f[i]=f[i]+f[i-j-1]*f[j];
	cout<<f[n];
	return 0;
}