数据结构与算法之堆与堆排序

　　在数据结构中，堆其实就是一棵完全二叉树。我们知道内存中也有一块叫做堆的存储区域，但是这与数据结构中的堆是完全不同的概念。在数据结构中，堆分为大根堆和小根堆，大根堆就是根结点的关键字大于等于任一个子节点的关键字，而它的左右子树又分别都是大根堆；小根堆与大根堆恰好相反。在C++的STL中优先队列priority_queue结构就是实现的堆结构。下来自己动手现实一个堆结构，包括heap_init,heap_insert,heap_top等操作。

1、堆的实现

　　因为堆是一棵完全二叉树，所以我们可以用顺序表来实现，而且堆也只能用顺序表。我们用vector。

　　(1) 堆的初始化

　　对堆的初始化基本思想：首先初始数组是一个杂乱无章的序列，但是如果堆中只有一个元素heap[0]，那么heap[0]本身是一个堆，然后加入heap[1]调整堆；继续加入heap[2].....直到完成所有元素的调整。

void sift_up(vector<int> &heap,int index){
    while((index+1)/2-1 >= 0){
        if(heap[(index+1)/2-1] < heap[index]){
            swap(&heap[(index+1)/2-1],&heap[index]);
            index = (index+1)/2-1;
        }else
            break;
    }
}

void heap_init(vector<int> &heap){
    if(heap.empty())
        return ;
    for(int i=1; i<heap.size(); i++){
        sift_up(heap,i);
    }
}

　　(2) 向堆中插入元素

　　把插入的元素放入堆的末尾，然后向上调整堆。

void heap_insert(vector<int> &heap,int element){
    heap.push_back(element);
    sift_up(heap,heap.size()-1);
}

　　(3) 取出堆顶的元素

　　取出一个元素后，用最后一个元素填补第一个元素的位置，然后向下依次调整堆。

void sift_down(vector<int> &heap,int index){
    while(index*2+2 < heap.size()){
        if(heap[index*2+1]>=heap[index*2+2] && heap[index]<heap[index*2+1]){
            swap(&heap[index],&heap[index*2+1]);
            index = index*2+1;
        }else if(heap[index*2+1]<heap[index*2+2] && heap[index]<heap[index*2+2]){
            swap(&heap[index],&heap[index*2+2]);
            index = index*2+2;
        }else
            break;
    }
}
bool heap_top(vector<int> &heap,int *res){
    if(heap.empty())
        return false;
    *res = heap[0];
    heap[0] = heap[heap.size()-1];
    heap.erase(heap.end()-1);
    sift_down(heap,0);
    return true;
}

2、堆排序

　　首先初始化堆，然后依次取出堆顶的值。这里为大根堆，所以是从大到小排序。

void heap_sort(vector<int> &vec){
    heap_init(vec);
    int len = vec.size();
    while(len--){
        int num;
        heap_top(vec,&num);
        printf("%d ",num);
    }
}

　　堆排序的时间复杂度为O(nlog₂n)，从上面排序的步骤可以看出它是不稳定的排序。但是它与选择排序，归并排序一样时间复杂度不随序列的分布变化而变化。而对于插入排序和冒泡排序来说，当输入序列有序或者基本有序时，它们的复杂度会递减为O(n)，而快速排序则会退化成O(n²)。

　　所以在具体应用中，要根据输入序列来选择哪种排序方法，具体问题具体分析。由于堆排序特殊的排序结构和优良的性能，所以在很多时候下都可以采用堆排序。

3、堆排序的应用

　　在一个n个数的序列中取其中最大的k个数（Top k问题）。

　　　　这是一个很常见的排序算法题。

　　方法一：直接对这这n个数进行排序，然后取k个数。时间复杂度最少为O(nlog₂n)。

　　方法二：借鉴快排的思路，并不需要完整地实现快排，只需要实现快排的一部分即可得到最大的k个数。复杂度为O(nlog₂k)。

　　方法三：可以采用哈希排序，先把n中开始的k个数放入hash表中，然后依次从剩下的的n-k个数中取出一个，与hash表中的k个数比较，每次淘汰最小的那个数。时间复杂度为O((n-k)*k)。

　　方法四：取出n中开始的k个数，建立一个小根堆，然后从剩下的n-k个数中，每次取出一个数插入小根堆中，然后删除堆顶的那个元素（堆中的最小值）。时间复杂度为O(*(n-k)*lg₂k)。

　　不可否认，采用堆来求最大的k个数性能是最好的，但是好处还不止这么一点点！！我们试想一下，如果输入的序列很大，也就是n值很大，以致于无法全部存放在内存中，那么这时候，方法一和方法二就不管用了，当然方法一采用归并排序可以达到目的，但是这时候需要多少次IO？？。如果选择方法四，最多只需要(n-k)次IO，当然方法三也是如此，只是每次需要比较k次。

　　完整代码详见：https://github.com/whc2uestc/DataStructure-Algorithm/tree/master/heap

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