2014 Super Training #10 G Nostop --矩阵快速幂

原题： FZU 2173 http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2173

一开始看到这个题毫无头绪，根本没想到是矩阵快速幂，其实看见k那么大，就应该想到用快速幂什么的，况且n<=50，可以用矩阵来表示图。

1.为什么能用矩阵快速幂呢？

原理：

原始矩阵m[][]中，m[u][v]代表u到v的花费，求矩阵的k次幂后，此时m[u][v]代表，从u走向b经过v步的最少花费
注意此时矩阵的相乘应该写成：
m[a][b]=min(m[a][1]+m[1][b],...m[a][n]+m[n][b])  ，即取最小值而非相加。

2.为什么呢？

m的1次方，无疑是正确的。

m的2次方
此时(m[a][b])^2=min(m[a][1]+m[1][b],..m[a][n]+m[n][b])，就是枚举a经过1到n点再到b的最少花费，就是a经过两步到达b的最少花费

归纳法：

如果(m[a][b])^i代表了a走i步到达b的最少花费，则m^(i+1)=min((m[a][1])^i+m[1][b],...(m[a][n])^i+m[n][b])

所以可以这样做。

（借鉴nothing的博客）

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define Mod 1000000007
#define lll __int64
using namespace std;
#define N 6007

struct Matrix
{
    lll m[55][55];
};
int n,h,k;

Matrix Mul(Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix c;
    memset(c.m,-1,sizeof(c.m));
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            for(int k=0;k<n;k++)
            {
                if(a.m[i][k]!=-1&&b.m[k][j]!=-1)
                {
                    if(c.m[i][j] == -1)
                        c.m[i][j] = a.m[i][k]+b.m[k][j];
                    else
                        c.m[i][j] = min(c.m[i][j],a.m[i][k]+b.m[k][j]);
                }
            }
        }
    return c;
}

Matrix fastm(Matrix a,int n)
{
    if(n == 1)
        return a;
    Matrix res = fastm(a,n/2);
    res = Mul(res,res);
    if(n&1)
        res = Mul(res,a);
    return res;
}

Matrix MPow(Matrix a,int n)  //第二种写法
{
    Matrix res = a;
    n--;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            res = Mul(res,a);
        n>>=1;
        a = Mul(a,a);
    }
    return res;
}

int main()
{
    int t,i,j,k;
    int u,v;
    lll w;
    Matrix A,ans;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&h,&k);
        memset(A.m,-1,sizeof(A.m));
        for(i=0;i<h;i++)
        {
            scanf("%d%d%I64d",&u,&v,&w);
            u--,v--;
            if(A.m[u][v] == -1)
                A.m[u][v] = w;
            else
                A.m[u][v] = min(A.m[u][v],w);
        }
        ans = MPow(A,k);
        printf("%I64d\n",ans.m[0][n-1]);
    }
    return 0;
}