图论-最短路

单源最短路

• P3371 【模板】单源最短路径（弱化版）
• P4779 【模板】单源最短路径（标准版）

dijkstra

普通版

时间复杂度为\(\mathcal{O (n^2)}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+8;
int n,m,s,d[N],cnt,head[N];
bool v[N];
struct edge{
	int to,next,d;
}e[N];
void add(int x,int y,int z){
	++cnt;
	e[cnt].to=y;
	e[cnt].d=z;
	e[cnt].next=head[x];
	head[x]=cnt;
}
void work(){
	memset(d,0x3f,sizeof(d));
	memset(v,0,sizeof(v));
	d[s]=0; 
	while(v[s]==0){
		v[s]=1;
		for(int i=head[s];i!=0;i=e[i].next){
			int j=e[i].to;
			if(v[j]==0&&d[j]>d[s]+e[i].d)
				d[j]=min(d[j],d[s]+e[i].d);
		
		}
		int x=0x3f;
		for(int i=1;i<=m;i++){
			if(d[i]<x&&v[i]==0){
				x=d[i];
				s=i;
			} 
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=1;i<=m;i++){
 		int x,y,z; cin>>x>>y>>z;
		add(x,y,z);
	}
	work();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(d[i]==1061109567) cout<<2147483647<<" ";
		 else cout<<d[i]<<" ";
	}
	return 0;
}

堆优化

时间复杂度为\(\mathcal{O (nlog(n))}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+8;
int n,m,s,d[N],cnt,head[N];
bool v[N];
struct edge{
	int to,next,d;
}e[N];
void add(int x,int y,int z){
	++cnt;
	e[cnt].to=y;
	e[cnt].d=z;
	e[cnt].next=head[x];
	head[x]=cnt;
}
struct code{
	int d,u;
	friend bool operator < (code x,code y){
		return x.d>y.d;
	} 
};
priority_queue<code> q;
void work(){
	memset(d,0x3f,sizeof(d));
	d[s]=0; 
	q.push((code){0,s});
	while(!q.empty()){
		code x=q.top();q.pop();
		int  u=x.u;
		if(v[u]==1) continue;
		v[u]=1;
		for(int i=head[u];i!=0;i=e[i].next){
			int j=e[i].to;
			if(d[j]>d[u]+e[i].d){
				d[j]=d[u]+e[i].d;
				q.push((code){d[j],j});
			}	
		}
	}
}
int main(){
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=1;i<=m;i++){
 		int x,y,z; cin>>x>>y>>z;
		add(x,y,z);
	}
	work();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(d[i]==1061109567) cout<<2147483647<<" ";
		 else cout<<d[i]<<" ";
	}
	return 0;
}

Bellman-Ford

普通版

时间复杂度为\(\mathcal{O (nm)}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e7;
int n,m,s;
int u[N],v[N],w[N];
int d[N];
int main(){
	cin>>n>>m>>s;
	memset(d,0x3f,sizeof(d));
	d[s]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++) cin>>u[i]>>v[i]>>w[i];
	for(int k=1;k<n;k++){
		for(int i=1;i<=m;i++){
			int x=u[i],y=v[i],z=w[i];
			if(d[x]+z<d[y]){
				d[y]=d[x]+z;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(d[i]==0x3f) cout<<"2147483647"<<" ";
		else
		cout<<d[i]<<" ";
	}
	return 0;
}

队列更新法

时间复杂度在最坏的情况下为\(\mathcal{O (nm)}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6;
int n,m,s,d[N],cnt[N];
bool pd[N],f0;
struct code{
	int to,w;
};
vector <code> e[N];
queue<int > q;
int main(){
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y,z; cin>>x>>y>>z;
		e[x].push_back((code){y,z});
	} 
	for(int i=1;i<=n;i++) d[i]=INT_MAX;
	d[s]=0;
	q.push(s);
	pd[s]=1;
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();q.pop();
		pd[x]=0;
		for(int i=0;i<e[x].size();i++){
			int y=e[x][i].to,z=e[x][i].w;
			if(d[x]<INT_MAX&&d[x]+z<d[y]){
				d[y]=d[x]+z;
				if(pd[y]==0){
					q.push(y);
					pd[y]=1;
					if(++cnt[y]>n) {
						f0=1;
					}
				}
			} 
		}
	}
	if(f0) cout<<"存在负环";
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(d[i]==INT_MAX) cout<<"2147483647";
		else cout<<d[i];
		cout<<" ";
	} 
	
	return 0;
}

双源最短路

Floyd算法[双源最短路]

时间复杂度为 \(\mathcal{O (n^2)}\) 的双源最短路算法。
通过枚举两点之间的中转站，来确定最短路。

B3647 【模板】Floyd 算法

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1005;
ll n,m;
ll e[N][N];
int main(){
    cin>>n>>m;
    memset(e,0x3f,sizeof(e));
    for(int i=1;i<=n;i++) e[i][i]=0;
    for(int k=1;k<=m;k++){
        ll x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        e[x][y]=min(e[x][y],z);
        e[y][x]=min(e[y][x],z);
    }
    for(int k=1;k<=n;k++){//枚举k为中转站的时候
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                e[i][j]=min(e[i][j],e[i][k]+e[k][j]);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cout<<e[i][j]<<" ";
        }cout<<endl;
    }
    return 0;
}