数学-乘法逆元

因为luogu博客不知道为什么一直抽风，数学公式有渲染不出来，所以我直接用图片了...

1.定义

逆元素，是指一个可以取消另一给定元素运算的元素，在数学里，逆元素广义化了加法中的加法逆元和乘法中的倒数。

如果说 a 在模 p 意义下的乘法逆元是 x，那么 \(ax \equiv 1 \pmod{p}\)

2.求逆元的方法

·扩展欧几里得

1. 同余方程的转化

\(ax \equiv 1 \pmod{p}\) \(-->\) \(ax+by=\)\(gcd(a,b)\)

∵\(b≥2\)

∴\(ax\) \(mod\) \(b\) = \(1\) \(mod\) \(b\)

∴\(ax\) \(mod\) \(b\) =\(1\)

根据模的定义，我们设 \(y\) ，使 \(y\) 满足 \(ax+by=1\) （此时 \(y\) 为负数）。

∵\(k | a\) , \(k | b\)

∴\(k | ax\) , \(k | by\)

∴\(k | ax+by\)

∵ \(ax+by=1\)

∴ $ gcd(a,b) | 1 $

当 \(x\) , \(y\) 有整数解时， \(gcd(a,b)\) 只能等于 \(1\)。

∴ \(ax+by=\) \(gcd(a,b)\)

2. 扩展欧几里得的求解

设 \(G=\)\(gcd(a,b)\)，令 \(ax+by=G\) 。

设 \(x'\) , \(y'\)，使其满足
\(bx'+(\) \(a\) \(mod\) \(b\) \()y'=G\)

那么 \(ax+by=bx'+(\) \(a\) \(mod\) \(b\) \()y'\)

∵ \(a\) \(mod\) \(b\) \(=\) \(a-b \times (a/b)\)

∴ \(bx'+(\) \(a\) \(mod\) \(b\) \()y'\)

\(=bx'+(\) \(a-b \times (a/b)\))\(\times\)\(y'\)

\(=bx'+ay'-b \times (a/b) \times y'\)

$=ay'+b \times(x'-(a/b)y') $

∴ \(ax+by=ay'+b \times(x'-(a/b)y')\)

\[\left\{ \begin{aligned} x & = & y' \\ y & = & x'-（a/b）\times y' \\ \end{aligned} \right. \]

那么 \(x'\)，\(y'\)怎么求呢？其实对辗转相除法较为熟悉的朋友们，现在已经知道该怎么求解了。如果还不知道也不用着急。我们回看这两个式子。
\(ax+by=bx'+(\) \(a\) \(mod\) \(b\) \()y'\)

\(bx'+(\) \(a\) \(mod\) \(b\) \()y'=G\)

其实这便于 辗转相除法 相同，通过不断缩小求解未知数，然后递归求解。

代码如下

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int x,y;
void exgcd(int a,int b){
	//ax+by=gcd(a,b);
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	int tmp=x;
	x=y;
	y=tmp-a/b*y;
}
signed main(){
	long a,b;
	cin>>a>>b;
	exgcd(a,b);
	x=(x%b+b)%b;
	cout<<x;
	return 0;
}