字符串-最长回文字符串 manacher马拉车

manacher马拉车 https://www.luogu.com.cn/problem/P3805

闲言一下：花了一个中午终于把 manacher 给搞懂了。本文将以一个蒟蒻的身份来，来写写马拉车算法。首先请自行回顾暴力的 最长回文字符串 算法。首先我们将 通过枚举中心点，并扩展以该中心点为回文中心的回文串长度的算法称为 “中心扩展法”。manacher算法便是以“中心扩展法”为核心，利用枚举中获取的信息优化而来的。

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具体地来说：

首先在解决奇偶回文字符串时，我们使用分类讨论的方法，解决了奇数和偶数的问题，但是这样未免过于麻烦，有什么可以将二者统一的方式呢？

这是处理前的字符串

具体地来说：

首先在解决奇偶回文字符串时，我们使用分类讨论的方法，解决了奇数和偶数的问题，但是这样未免过于麻烦，有什么可以将二者统一的方式呢？

这是处理前的字符串
a b b c
1 2 3 4


这是处理后的字符串
# a # b # b # c #
1 2 3 4 5 6 7 8 9

我们通过加字符的方法，注意这里不一定要是 # ，也可以是其他字符，主要目标是为了将奇偶回文字符串统一了起来。这样在处理回文字符串时，会更加的方便。（不过也容易犯一些粗心的小问题，这些问题会在文章末尾提及）。

接下来回想一下 中心扩展法 求解最长回文序列的时候。遇到这种情况时

a b a d a b a 
1 2 3 4 5 6 7

当我们枚举完 以下标为 4 的点为中心时，我们可以知道 1~7 为回文序列。加上前面以下标为3的点为中心时，我们可知道 1~3 为回文序列。根据回文序列的对称性，我们可以得出 5~7 也为回文序列。但在我们使用中心扩展法时，就需要多余地去枚举以下标为3的点为中心的回文半径的长度。这大大地浪费了时间。因此我们可以从这个角度入手，优化我们的算法。

从 中心扩展法 的基础上，再根据刚刚从特殊数据的角度，我们可以想到先定义几个变量maxr,mid ，用来表示当前已知的回文序列中最右的右端点，及该回文序列的中点。为什么要记录最右的右端点呢？因为右端点越右的回文序列就越容易包括后面还未遍历的中心，这样就能尽可能的达到，通过现有信息尽可能减少多余遍历的目的了。再定义一个数组 p[i] 表示以 i 为中点的回文序列的回文半径。

具体来讲一下优化的要点，

情况一

a b b c 
1 2 3 4 

这是处理后的字符串 
# a # b # b # c # 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 

我们通过加字符的方法，注意这里不一定要是 # ，也可以是其他字符，主要目标是为了将奇偶回文字符串统一了起来。这样在处理回文字符串时，会更加的方便。（不过也容易犯一些粗心的小问题，这些问题会在文章末尾提及）。

接下来回想一下 中心扩展法 求解最长回文序列的时候。遇到这种情况时

a b a d a b a 
1 2 3 4 5 6 7

当我们枚举完 以下标为 4 的点为中心时，我们可以知道 1~7 为回文序列。加上前面以下标为3的点为中心时，我们可知道 1~3 为回文序列。根据回文序列的对称性，我们可以得出 5~7 也为回文序列。但在我们使用中心扩展法时，就需要多余地去枚举以下标为3的点为中心的回文半径的长度。这大大地浪费了时间。因此我们可以从这个角度入手，优化我们的算法。

从 中心扩展法 的基础上，再根据刚刚从特殊数据的角度，我们可以想到先定义几个变量maxr,mid ，用来表示当前已知的回文序列中最右的右端点，及该回文序列的中点。为什么要记录最右的右端点呢？因为右端点越右的回文序列就越容易包括后面还未遍历的中心，这样就能尽可能的达到，通过现有信息尽可能减少多余遍历的目的了。再定义一个数组 p[i] 表示以 i 为中点的回文序列的回文半径。

具体来讲一下优化的要点，

情况一

 

如果是上图的这种情况，则p[i]=p[j] ， j=mid-(i-mid) --> j=2*mid-i 。（回文序列的对称性）

情况二

 

如果是上图的这种情况，则不一定p[i]=p[j] ，因为超过ml ~ mr的部分并不满足回文序列的性质。所以只有在ml ~ mr的部分才能进入计算，因此p[i]=mr-i+1 。

重要的优化只有这些，其他的和 中心扩展法的做法大致相同。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=9*1e7;
string str="!#",c;/*为什么第一位是“！”？
                    为了避免程序第16行扩展时越界 */ 
int p[N],mid=0,mr=0,ans; 
void work(){
    cin>>c; 
    for(int i=0;c[i]>='a'&&c[i]<='z';i++){
        str+=c[i];
        str+='#';
    }/*处理原序列*/ 
    for(int i=1;i<str.size();i++){
        if(i<=mr) p[i]=min(p[2*mid-i],mr-i+1);
        /*i关于mid对称点; mid-（i-mid）——> 2*mid-i  */ 
        while(str[i-p[i]]==str[i+p[i]]) p[i]++;
        //这里其实就是扩展 回文序列的 回文半径 
        if(i+p[i]>mr){
            mid=i;
            mr=i+p[i]-1; 
        }
        if(p[i]>ans) ans=p[i]; 
    }
    cout<<ans-1;
}
int main(){
    work();
    return 0;
}

---

 

粗心的小问题（建议自行写完代码后查看）

1.因为要插入一堆字符，所以字符数组和其他相关数组的大小需要翻倍