半正定矩阵小计

抄录自百度百科

定义：设A是n阶方阵，如果对任何非零向量X,都有X'AX>=0，就称A为半正定矩阵

性质：

1. 半正定矩阵的行列式是非负的。

2. 半正定矩阵+半正定矩阵还是半正定矩阵

3. 非负实数乘半正定矩阵还是半正定矩阵

判定，设A是n阶是对称矩阵，下列条件等价：

1.A是半正定

2.A的所有主子式均非负

3.A的特征值均非负

4.存在n阶实矩阵C，使A=C'C

5.存在秩为r的r×n实矩阵B，使A=B'B

 

抄录自百度知道

如何说明半正定矩阵特征值非负？  

采用反证法：

假设AA'有负数特征值a<0，则存在特征向量x使得AA'x=ax
两边同时乘以x'，得：x'AA'x=x'ax=ax'x
x'x是一个向量x自身的模长的平方，而且x是特征向量所以非零，所以x'x>0，所以ax'x<0
另一方面x'AA'x=(A'x)'(A'x)>=0
出现了矛盾，等式不成立，所以AA'的特征值必须非负。