斐波那契高效算法（4种算法综合分析）

斐波那契数列问题是算法学习者必定接触到的问题。作为经典问题，首次接触时通常是作为递归算法的案例教程。

然而递归解决斐波那契。其效率低的令人发指，有人算出其时间复杂度为O(2^n)。指数级时间复杂度。

假设面试的时候面试官问你斐波那契的求解方法，你来一个递归求解，基本上能够说，你已经game over了。

那么有没有更高效的算法呢。本文将一一介绍。

以下是斐波那契的4种解法：

1.递归    时间复杂度O(2^n)

	int f(int n){
		if(n == 1 || n == 2){
			return 1;
		}
		return f(n-1) + f(n-2);
	}

2.循环    时间复杂度O(n)

    public int f(int n) {
        // write code here
        int f0 = 1;
        int f1 = 1;
        int f2 = 0;

        for(int i = 2; i < n; i++){
            f2 = f0 + f1;
            f0 = f1;
            f1 = f2;
        }
        return f2;
    }

3.矩阵求解    时间复杂度O(logn)

    斐波那契的递推公式能够表示成例如以下矩阵形式。所以其

      

所以依据矩阵的分治算法。能够在O(logn)时间内算出结果。

笔试问题：

对于斐波拉契经典问题。我们都很熟悉。通过递推公式F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，我们能够在线性时间内求出第n项F(n)，如今考虑斐波拉契的加强版，我们要求的项数n的范围为int范围内的非负整数，请设计一个高效算法，计算第n项F(n)。

第一个斐波拉契数为F(0) = 1。

给定一个非负整数，请返回斐波拉契数列的第n项，为了防止溢出，请将结果Mod 1000000007。

    long[][] f = new long[][]{{0,1},{1,1}};
    public int getNthNumber1(int n) {
    	if(n == 0)
            return 1;
        if(n == 1)
            return 1;
        f = pow(n,f);
    	
		return (int) f[1][1];
    }

    private long[][] pow(int n,long[][] f){
    	if(n == 1)
    		return f;
    		
    	if(n == 2){
    		return fun(f,f);
    	}

    	if( n % 2 == 0){//偶数
    		f = pow(n/2,f);
    		return fun(f, f);
    	}else{
    		return fun(pow(n/2,f),pow(n/2 + 1,f));
    	}
    }
    
    private long[][] fun(long[][] f,long[][] m){
    	long[][] temp = new long[2][2];
    	temp[0][0] = (f[0][0]*m[0][0] + f[0][1]*m[1][0])%1000000007;
    	temp[0][1] = (f[0][0]*m[0][1] + f[0][1]*m[1][1])%1000000007;
    	temp[1][0] = (f[1][0]*m[0][0] + f[1][1]*m[1][0])%1000000007;
    	temp[1][1] = (f[1][0]*m[0][1] + f[1][1]*m[1][1])%1000000007;
    	return temp;
    }

4.公式求解  时间复杂度O(1)

对，你没看错。斐波那契数列是有求解公式的。其通项公式例如以下：

所以，不论什么斐波那契数都能够在O(1)时间内计算出来，可是有一点，由于牵涉到无理数。所以无法保证精度。

详细代码略。

综上，眼下代码效率最高也最准确的，是第3种矩阵求解方法，笔试面试时务必掌握。

【完】