数据结构知识点总结之树
数据结构
树
概念
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结点的度
- 结点的子树数目
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所有结点的度的总和
- 即边的数目：m=n-1
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树的度
- 树所有结点中的最大度为树的度
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树深度/高度
- 树中结点的最大层次
二叉树
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定义
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二叉树是度为2的有序树
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节点n
- 高度h
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性质
- \(h\le n \le 2^h-1\)
- \(log_2(n+1)\le h\le n\)
- \(n_2=n_0-1\)
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特殊二叉树
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满二叉树
- 结点数\(2^h-1\)
- 从上到下从左到右标序
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完全二叉树
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满二叉树缺失一部分，但是节点序号不变
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非根结点（i>1)
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父节点
- i/2
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儿子节点
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左孩子
- 2i
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右孩子
- 2i+1
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斜二叉树
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存储结构
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顺序二叉树
- 一般二叉树->完全二叉树
- 空间浪费
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链式二叉树
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结构
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二叉链表
- LeftChild|data|RightChild
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三叉链表
- LeftChild|data|Parent|RightChild
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遍历二叉树
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前序遍历
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中序遍历
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后序遍历
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层序遍历
- 队列实现
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线索二叉树
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线索化
- 以某种方式遍历并使其成为线索二叉树
- 利用空指针域作为前驱后继
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目的
- 加快查找结点的前驱后继
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原理
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二叉树指针域：2n个
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非空指针域：n-1
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空指针域：n+1
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左空指针域
- 记录结点前驱
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右空指针域
- 记录结点后继
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应用
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堆
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特性
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结构性
- 用数组表示的完全二叉树
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有序性
- 任意结点的关键字是其子树结点的最大值
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分类
- 最大堆
- 最小堆
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操作
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哈夫曼树
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概念
- 带权路径长度\(WPL=\sum_{k=1}^n{W_k*L_k}\)
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构造
- 按权值排序形成最小堆
- 取权值最小的两个结点作为树的叶子结点
- 求根结点的权值（叶子结点权值之和），加入最小堆中
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应用
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编码
- 权重为每个字符出现的概率
- 哈夫曼树左右分支为0，1
- 根据根到结点的路径编码
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译码
- 根据编码搜索哈夫曼树
- 找到叶子结点即译码
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一般树
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存储结构
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双亲表示法
- 数组：data|parent
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孩子表示法
- 数组：data|child
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双亲孩子表示法
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数组+链表
- data|parent|*children
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长子兄弟表示法
- 链表：firstchild|data|nextsibling
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树、森林、二叉树的转换
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树转二叉树
- 长子-兄弟法
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森林转二叉树
- 先每棵树转二叉树
- 从第二棵树开始，依次把当前二叉树根结点的右子树
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二叉树转森林
- 将二叉树根节点的右子树依次分裂
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树的遍历
- 先根遍历
- 后根遍历
- 层次遍历
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森林的遍历
- 先根遍历
- 中根遍历
- 后根遍历
- 层次遍历
等价类
并查集
