Newton-Raphson方法求解多元非线性方程组

多元非线性方程组可记作 \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}\) 。注：在形变仿真等领域，通常可将系统方程转化为 \(\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}\) 的形式，转化到这里，可以表示为 \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{Ax} - \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}\)

牛顿迭代法推广到多元非线性方程组求解，称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method）。当 \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})\) 关于 \(\boldsymbol{x}\) 的 Jacobin 矩阵 \(\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}) = (\frac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial\boldsymbol{x}}) = \boldsymbol{A}\) 可逆时，有

\[\boldsymbol{x}^{(k+1)} = \boldsymbol{x}^{(k)} - \boldsymbol{J}^{-1}(\boldsymbol{x}^{(k)})\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}^{(k)}) \]

求解非线性方程组的 Newton-Raphson 方法为：

1、取初始点 \(\boldsymbol{x}^{(0)}\)，最大迭代次数 \(N\) 和精度要求 \(\epsilon\) ，置 \(k = 0\) ；

2、求解线性方程组 \(\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}^{(k)})\boldsymbol{d} = -\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}^{(k)})\)

3、若 \(|\boldsymbol{d}| < \epsilon\)，则停止计算；否则，置 \(\boldsymbol{x}^{(k+1)} = \boldsymbol{x}^{(k)} + \boldsymbol{d}^{(k)}\)

4、若 \(k = N\)，则停止计算；否则，置 \(k = k+1\)，转 (2)

上述即为 Newton-Raphson 方法求解非线性方程组的过程。