本论文提出了一种适用于 Projective Dynamics 的模型降阶方法，主要包含了三部分内容：（1）坐标系的降阶；（2）约束的降阶；（3）Projective Dynamics 的求解过程，包括 globle/local 求解过程；
1 - 总体概述
模型降阶（model order reduction），即在模型计算/求解的过程中，将其映射到低维空间中，以减少计算量。
在形变仿真中，模型网格越精细，能够更好的展现仿真对象的细节特征，往往具备更好的（视觉）效果。但精细的网格意味着，模型的节点数巨大（10K~100K），使得模型的求解计算量庞大，严重制约了仿真的实时性。
在模型降阶的方法中，通过将高阶模型（精细网格，节点数多）映射到低阶模型（较粗糙网格，节点数少）中，采用较粗糙的网格对模型进行近似，从而减小仿真求解过程中的计算量。在求解得到结果后，再将低阶模型反向映射到高阶模型，进行视觉上的渲染，达到展现模型精确细节的目的。
Projective Dynamics 公式：
模型降阶公式：
\[\boldsymbol{q} \approx \mathbf{U}\tilde{\boldsymbol{q}}
\]
其中，\(\boldsymbol{q} \in \mathbb{R}^{n \times 3}\) 为高阶模型的节点坐标，\(\tilde{\boldsymbol{q}} \in \mathbb{R}^{4k \times 3}\) 为低阶模型的节点（其实，这里不是物理意义上的顶点）坐标，\(\mathbf{U}\) 为从低维空间到高维空间的映射。
2 - 低维空间的构建
借鉴了蒙皮算法来构建子空间（creating a subspace from skining weights.），具体方法如下：
1 - 在模型网格中均匀选取 \(k\) 个节点，即 \(\boldsymbol{s}_j\) （相当于蒙皮算法中的 handle ），并计算节点 \(i\) 相对于各个 handle 的权重，为 \(\tilde{\boldsymbol{w}}_i = (B_{\boldsymbol{s}_1, r(\boldsymbol{q}_i)}), \cdots, B_{\boldsymbol{s}_k, r(\boldsymbol{q}_i)})\) ，其中，\(r\) 是作用域半径，\(B_{\boldsymbol{y}, r(\boldsymbol{x})}) = b_r(d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}))\) 为插值函数，在这里选择为 unique cubic polynomial 函数（也可选择其他）。最后，对权重进行归一化（normalized）处理，即 \(\boldsymbol{w}_i = \tilde{\boldsymbol{w}}_i \cdot (1./\sum_j \tilde{w}_i^j)\) 。
2 - 构建子空间的基（construct the subspace basis matrix \(\mathbf{U}\) such that it contains the degrees of freedom from the skinning transformations according to these weights.），具体过程如下：
核心思想的解释：在蒙皮算法中，是通过 handle 的变换 affine transformations ，将网格节点从初始位置映射到了形变后的位置（表述可能不规范），也就是说，在这里面存在一个低维空间到高维空间的映射。其中，高维空间很好理解，就是网格模型本身，\(n\) 个网格节点，3维空间，是由 \(3n\) 个基向量张成的空间；而低维空间呢，可以从这个角度看，计算过程是 handle 仿射变换矩阵作为变量，乘以权重与初始位置的某种组合（定值），那么，就可以将权重与初始位置的某种组合张成的空间作为低维空间，将 handle 的放射变换矩阵作为其在低维空间中的坐标。由此，就实现了高维空间中的任一点 \(\boldsymbol{q}\) 在低维空间中的表示，即模型从高维到低维的降阶：\(\boldsymbol{q} \approx \mathbf{U}\tilde{\boldsymbol{q}}\)
2.1 - 空间、变量的维度及表示。在形变模型中，有 \(n\) 个节点，表示为 \(\boldsymbol{q} \in \mathbb{R}^{n \times 3}\)，那么，拆开来写，应该就是：
\[\boldsymbol{q} = \begin{pmatrix}
q_0^x & q_0^y & q_0^z \\
q_1^x & q_1^y & q_1^z \\
\cdots \\
q_{n-1}^x & q_{n-1}^y & q_{n-1}^z
\end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n \times 3}\]
2.2 - 蒙皮算法。根据蒙皮算法，在模型网格中选取均匀分布的 \(k\) 个 handle，各个节点与 handle 相对应的权重为 \(w_i^j\)。在形变过程中，从网格初始位置 \(\boldsymbol{q}_0\) 到形变后位置 \(\hat{\boldsymbol{q}}\) 的 skinning transformation 过程可计算为：
对于其中的任一节点 \(i\)，其变换过程为：（对应于 \(\boldsymbol{q}\) 中的任一行）
\[\begin{aligned}(\hat{q}_i^x, \hat{q}_i^y, \hat{q}_i^z) &= \sum_j (1, q_i^x, q_i^y, q_i^z) \cdot w_i^j \mathbf{A}_j^T \\
&= (1, q_i^x, q_i^y, q_i^z) \cdot w_i^0 \mathbf{A}_0^T + (1, q_i^x, q_i^y, q_i^z) \cdot w_i^1 \mathbf{A}_1^T + \cdots + (1, q_i^x, q_i^y, q_i^z) \cdot w_i^{k-1} \mathbf{A}_{k-1}^T \\
&= (w_i^0, q_i^x \cdot w_i^0, q_i^y \cdot w_i^0, q_i^z \cdot w_i^0) \mathbf{A}_0^T + (w_i^1, q_i^x \cdot w_i^1, q_i^y \cdot w_i^1, q_i^z \cdot w_i^1) \mathbf{A}_1^T + \cdots + (w_i^{k-1}, q_i^x \cdot w_i^{k-1}, q_i^y \cdot w_i^{k-1}, q_i^z \cdot w_i^{k-1}) \mathbf{A}_{k-1}^T \\
&= (w_i^0, q_i^x \cdot w_i^0, q_i^y \cdot w_i^0, q_i^z \cdot w_i^0 \quad | \quad w_i^1, q_i^x \cdot w_i^1, q_i^y \cdot w_i^1, q_i^z \cdot w_i^1 \quad | \quad \cdots \quad | \quad w_i^{k-1}, q_i^x \cdot w_i^{k-1}, q_i^y \cdot w_i^{k-1}, q_i^z \cdot w_i^{k-1}) \cdot \begin{pmatrix}\mathbf{A}_0^T \\
\mathbf{A}_1^T \\
\cdots \\
\mathbf{A}_{k-1}^T
\end{pmatrix}
\end{aligned}\]
那么，对于模型中的所有节点 \(\boldsymbol{q}\)，蒙皮算法的变化过程为：
\[\begin{aligned}\begin{pmatrix}\hat{q}_0^x &\hat{q}_0^y &\hat{q}_0^z \\
\hat{q}_1^x &\hat{q}_1^y &\hat{q}_1^z \\
\cdots \\
\hat{q}_{n-1}^x &\hat{q}_{n-1}^y &\hat{q}_{n-1}^z
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}w_0^0 &q_0^x \cdot w_0^0 &q_0^y \cdot w_0^0 &q_0^z \cdot w_0^0 &| &w_0^1 &q_0^x \cdot w_0^1 &q_0^y \cdot w_0^1 &q_0^z \cdot w_0^1 &| &\cdots &| &w_0^{k-1} &q_0^x \cdot w_0^{k-1} &q_0^y \cdot w_0^{k-1} &q_0^z \cdot w_0^{k-1} \\
w_1^0 &q_1^x \cdot w_1^0 &q_1^y \cdot w_1^0 &q_1^z \cdot w_1^0 &| &w_1^1 &q_1^x \cdot w_1^1 &q_1^y \cdot w_1^1 &q_1^z \cdot w_1^1 &| &\cdots &| &w_1^{k-1} &q_1^x \cdot w_1^{k-1} &q_1^y \cdot w_1^{k-1} &q_1^z \cdot w_1^{k-1} \\
\cdots \\
w_{n-1}^0 &q_{n-1}^x \cdot w_{n-1}^0 &q_{n-1}^y \cdot w_{n-1}^0 &q_{n-1}^z \cdot w_{n-1}^0 &| &w_{n-1}^1 &q_{n-1}^x \cdot w_{n-1}^1 &q_{n-1}^y \cdot w_{n-1}^1 &q_{n-1}^z \cdot w_{n-1}^1 &| &\cdots &| &w_{n-1}^{k-1} &q_{n-1}^x \cdot w_{n-1}^{k-1} &q_{n-1}^y \cdot w_{n-1}^{k-1} &q_{n-1}^z \cdot w_{n-1}^{k-1}
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\mathbf{A}_0^T \\
\mathbf{A}_1^T \\
\cdots \\
\mathbf{A}_{k-1}^T
\end{pmatrix}\\
&= (\mathbf{U}_0 \quad | \quad \mathbf{U}_1 \quad | \quad \cdots \quad | \quad \mathbf{U}_{k-1}) \cdot\begin{pmatrix}\mathbf{A}_0^T \\
\mathbf{A}_1^T \\
\cdots \\
\mathbf{A}_{k-1}^T
\end{pmatrix}\end{aligned}\]
即
\[\hat{\boldsymbol{q}} = \mathbf{U}\tilde{\boldsymbol{q}}
\]
3 - 约束的降阶
