形变仿真中的积分方法

形变仿真中，积分方法主要有显式积分方法（Explicit time integration scheme）、隐式时间积分方法（Implicit time integration scheme）等。

下面介绍 中心插值法、Houbolt 方法、Wilson-\(\theta\) 方法、以及 Newmark 方法。（这些方法应该也是包含在显式、隐式方法中的）

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0、变量定义

假定 \(t\) 时刻，质点的位置、速度、加速度分别为 \(\boldsymbol{u}_t\) 、\(\dot{\boldsymbol{u}}_t\) 、 \(\ddot{\boldsymbol{u}}_t\) 。仿真过程中，时间间隔为 $$

1、中心插值法

在中心插值法中，是按中心差分将速度和加速度矢量离散化为：

\[\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{u}}_t = \frac{1}{2\Delta t}(\boldsymbol{u}_{t + \Delta t} - \boldsymbol{u}_{t - \Delta t}) \\ \ddot{\boldsymbol{u}}_t = \frac{1}{2\Delta t^2}(\boldsymbol{u}_{t + \Delta t} - 2\boldsymbol{u}_{t} + \boldsymbol{u}_{t - \Delta t}) \end{aligned} \]

在中心插值法中，将 \(t\) 时刻的速度和加速度用相邻时刻的位移来表示。

2、线性加速度法和 Wilson-\(\theta\) 法

线性加速度法和 Wilson-\(\theta\) 法，都是属于逐步积分法。

（略）

3、Newmark 方法

Newmark 在 1959 年提出的逐步积分格式，称为 Newmark 方法。它的基本假定是

\[\begin{aligned} \dot{\boldsymbol{u}}_{t + \Delta t} = \dot{\boldsymbol{u}}_{t} + [(1-\delta)\ddot{\boldsymbol{u}}_{t} + \delta \ddot{\boldsymbol{u}}_{t + \Delta t}] \Delta t \\ \boldsymbol{u}_{t + \Delta t} = \boldsymbol{u}_{t} + \dot{\boldsymbol{u}}_{t} \Delta t + [(-\frac{1}{2} - \alpha)\ddot{\boldsymbol{u}}_{t} + \alpha \ddot{\boldsymbol{u}}_{t + \Delta t}] \Delta t^2 \end{aligned} \]

其中，\(\delta\) 和 \(\alpha\) 是按积分的精度和稳定性要求可以调整的参数。当 \(\delta = \frac{1}{2}\) ， \(\alpha = \frac{1}{6}\) 时，它就是线性加速算法。所以，Newmark 方法也可以理解为线性加速法俄一个小延伸。

Newmark 法最初提出作为无条件稳定的一种积分格式是常平均加速度法，即假定从 \(t\) 到 \(t + \Delta t\) 时刻，加速度不变，取为常数 \(\frac{1}{2}(\ddot{\boldsymbol{u}}_{t} + \ddot{\boldsymbol{u}}_{t + \Delta t})\) 。此时，取 \(\delta = \frac{1}{2}\) ， \(\alpha = \frac{1}{4}\) 。常平均加速度法是应用的最为广泛的逐步积分方法之一。研究表明，当 \(\delta \ge 0.5\) ， \(\alpha \ge 0.25(0.5 + \delta)^2\) 时，Newmark 方法是无条件稳定的。

4、Houbolt 方法

（略）

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小结