论文阅读笔记：A validated physical model for real-time simulation of soft robotic snakes

论文： A validated physical model for real-time simulation of soft robotic snakes. 2019

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内容：a framework that is capable of accurately representing soft robotic actuators；a constraint- based dynamics model of a 1-dimensional pneumatic soft actuator

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形变模型：

\[\begin{aligned} \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{q}} - \boldsymbol{f}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}) - \boldsymbol{J}_b^T\boldsymbol{\lambda}_b - \boldsymbol{J}_n^T\boldsymbol{\lambda}_n -\boldsymbol{J}_f^T\boldsymbol{\lambda}_f &= 0\\ \boldsymbol{c}_b(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}) + \boldsymbol{E\lambda}_b &= 0 \\ 0 \leq \boldsymbol{c}_n(\boldsymbol{q}) \perp \boldsymbol{\lambda}_n & \ge 0 \\ \forall_i \in \mathcal{A}, \quad \boldsymbol{D}_i^T \dot{\boldsymbol{q}} + \frac{|\boldsymbol{D}_i^T\dot{\boldsymbol{q}}|}{|\boldsymbol{\lambda}_{f,i}|}\boldsymbol{\lambda}_{f,i} & = 0 \\ \forall_i \in \mathcal{A}, \quad 0 \leq |\boldsymbol{D}_i^T \dot{\boldsymbol{q}}| \perp \mu_i\lambda_{n,i} - |\boldsymbol{\lambda}_{f,i}| & \geq 0 \\ \forall_i \in \mathcal{I}, \quad \boldsymbol{\lambda}_{f,i} & = 0 \end{aligned} \]

下面解释一下，上述模型中，各行式子都是什么意思。第一个公式，是模型的运动学方程，其中，\(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}})\) 系统中质点所受的外力及 gyroscopic force；\(\boldsymbol{J}_b^T\boldsymbol{\lambda}_b\) 是 bilateral constraints 所产生的约束力； \(\boldsymbol{J}_n^T\boldsymbol{\lambda}_n\) 是 unilateral contact constraints 所产生的接触力； \(\boldsymbol{J}_f^T\boldsymbol{\lambda}_f\) 则是接触时的摩擦力。\(\boldsymbol{\lambda}\) 是拉格朗日乘子。

第二个公式，是关于 bilateral constraints 的公式，用于模拟弹性应变能，\(\boldsymbol{E}\) 材料的刚度矩阵。

第三个公式，是关于接触 contact 的。

第四、五、六个公式，是关于摩擦的。

关于压力（大气压），相关的内容包含在第二个公式的 \(\boldsymbol{p}\) 中。

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约束 Actuation Constraints ：

这部分约束是用于模拟压力的。模型为：

\[c_{dist}(\boldsymbol{q}, p) = |\boldsymbol{q}_i - \boldsymbol{q}_j| - r_{\epsilon}(p) = 0 \]

其中，\(r_{\epsilon}(p)\) 是约束的 rest length，通过压力产生的应力决定，其中，应力与压力的关系简化为：

\[\epsilon(p) = 1 + p / Y \]

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Tetrahedral Finite-Elements Associated Constraint ：

这部分是将应变能看作是一类约束，其定义为：

\[\boldsymbol{c}_{tetra}(\boldsymbol{q}) + \boldsymbol{E}_{tetra}\boldsymbol{\lambda} = 0 \]

其中，\(\boldsymbol{E}_{tetra}\) 可以看作是一种刚度矩阵。

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其他约束就不赘述了。

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仿真步骤 Time Step

求解步骤，再详细看一下

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总结

一种软体机器人的仿真方法，中规中矩吧。