由拉格朗日函数推导守恒定律

运动积分

在力学系统的运动过程中，描述其状态的 $2s$ 个变量 $q_i,{\dot{q}}_i(i=1,2,\cdots ,s)$ 随时间变化。但是存在关于这些变量的某些函数，其值在运动过程中保持恒定，且仅由初始条件决定，这样的函数称为 运动积分。

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能量守恒

由 时间均匀性 可推导出 能量守恒。

由于时间具有均匀性，封闭系统的拉格朗日函数 $L$ 不显含时间 $t$，则有

$$\frac{dL}{dt}=\sum _i\frac{dL}{dq}\dot{q}+\sum _i\frac{dL}{d\dot{q}}\ddot{q}=C$$

已经由最小作用量原理，推导出了系统的拉格朗日方程（微分运动方程），有

$$\frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot{q}})=\frac{dL}{dq}$$

代入上式则有

$$\frac{dL}{dt}=\sum _i\frac{dL}{dq}\dot{q}+\sum _i\frac{dL}{d\dot{q}}\ddot{q}=\sum _i\frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot{q}})\dot{q}+\sum _i\frac{dL}{d\dot{q}}\ddot{q}=\sum _i\frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot{q}})\dot{q}+\sum _i\frac{dL}{d\dot{q}}\frac{d}{dt}\dot{q}$$

进一步得到

$$\frac{dL}{dt}=\sum _i\frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot{q}})\dot{q}+\sum _i\frac{dL}{d\dot{q}}\frac{d}{dt}\dot{q}=\sum _i\frac{d}{dt}(\frac{dL}{d\dot{q}}\dot{q})=\frac{d}{dt}(\sum _i\frac{dL}{d\dot{q}}\dot{q})$$

因此有

$$\frac{d}{dt}(\sum _i\frac{dL}{d\dot{q}}\dot{q})-\frac{dL}{dt}=\frac{d}{dt}(\sum _i\frac{dL}{d\dot{q}}\dot{q}-L)=0$$

因此可知

$$E=\sum _i\frac{dL}{d\dot{q}}\dot{q}-L$$

在封闭系统运动过程中保持不变，是运动积分，称为系统的能量。

封闭系统的拉格朗日函数可以写成

$$L=T(q,\dot{q})-U(q)$$

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动量守恒

由空间的均匀性可以推导出 动量守恒。

由于空间的均匀性，封闭力学系统在空间中发生平移时，其性质保持不变。那么，当期位置从 ${\mathit{r}}_{\alpha }$ 移动至 ${\mathit{r}}_{\alpha }+\mathit{\epsilon }$ 。在速度不变时，坐标无穷小的改变使拉格朗日函数发生改变

$$\delta L=\sum _{\alpha }\frac{\partial L}{\partial {\mathit{r}}_{\alpha }}\delta {\mathit{r}}_{\alpha }=\mathit{\epsilon }\cdot \sum _{\alpha }\frac{\partial L}{\partial {\mathit{r}}_{\alpha }}$$

对于任意 $\mathit{\epsilon }$ ，有 $\delta L$ 为零，则

$$\sum _{\alpha }\frac{\partial L}{\partial {\mathit{r}}_{\alpha }}=0$$

由系统的拉格朗日方程可得

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}-\frac{\partial L}{\partial q}=0$$

用 ${\mathit{r}}_{\alpha }$ 代换广义坐标 $q_i$，用 ${\mathit{v}}_{\alpha }$ 代换广义速度 $\dot{q}$，即为

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\mathit{v}}_{\alpha }}=\frac{\partial L}{\partial {\mathit{r}}_{\alpha }}$$

代入上式，有

$$\sum _{\alpha }\frac{\partial L}{\partial {\mathit{r}}_{\alpha }}=\sum _{\alpha }\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\mathit{v}}_{\alpha }}=\frac{d}{dt}\sum _{\alpha }\frac{\partial L}{\partial {\mathit{v}}_{\alpha }}=0$$

那么，则有

$$\mathit{P}=\sum _{\alpha }\frac{\partial L}{\partial {\mathit{v}}_{\alpha }}$$

在运动中保持不变，矢量 $\mathit{P}$ 称为系统的动量。

在没有外场的情况下，动量矢量的三个分量都守恒。然而，在有外场的情况下，如果是能不显含某个笛卡尔坐标，则相应的该方向的动量分量守恒。

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角动量守恒

由空间各向同性可得到封闭系统的角动量守恒。

各向同性 意味着封闭系统整体在空间中任意转动时，力学特性保持不变。引入无穷下转动矢量 $\delta \mathit{\phi }$，其大小等于转角 $\delta \phi$，方向沿转动轴。

当转过 $\delta \mathit{\phi }$ 时，个质点径矢变化为

$$|\delta \mathit{r}|=rsin\theta \cdot \delta \phi$$

位移矢量的方向垂直过 $\mathit{r}$ 和 $\delta \mathit{\phi }$ 的平面，显然有

$$\delta \mathit{r}=\delta \mathit{\phi }\times \mathit{r}$$

在系统转动时，不仅径矢的方向改变，而且所有质点的速度也发生改变，并且所有矢量的变化规律相同，所以，速度相对固定坐标系的增量为

$$\delta \mathit{v}=\delta \mathit{\phi }\times \mathit{v}$$

当发生转动时，拉格朗日函数不变，即有

$$\delta L=\sum _{\alpha }(\frac{\partial L}{\partial {\mathit{r}}_{\alpha }}\cdot \delta {\mathit{r}}_{\alpha }+\frac{\partial L}{\partial {\mathit{v}}_{\alpha }}\cdot \delta {\mathit{v}}_{\alpha })=0$$

在推导动量守恒时，定义了

$${\mathit{p}}_{\alpha }=\frac{\partial L}{\partial {\mathit{v}}_{\alpha }}$$

为质点的动量。代入拉格朗日方程得到

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v}=\frac{\partial L}{\partial r}$$

有

$${\dot{\mathit{p}}}_{\alpha }=\frac{d}{dt}{\mathit{p}}_{\alpha }=\frac{\partial L}{\partial {\mathit{r}}_{\alpha }}$$

代入上式，有

$$\delta L=\sum _{\alpha }({\dot{\mathit{p}}}_{\alpha }\cdot \delta {\mathit{r}}_{\alpha }+{\mathit{p}}_{\alpha }\cdot \delta {\mathit{v}}_{\alpha })=\sum _{\alpha }({\dot{\mathit{p}}}_{\alpha }\cdot (\delta \mathit{\phi }\times \mathit{r})+{\mathit{p}}_{\alpha }\cdot (\delta \mathit{\phi }\times \mathit{v}))=0$$

由 $\mathit{a}\cdot (\mathit{v}\times \mathit{c})=\mathit{b}\cdot (\mathit{c}\times \mathit{a})$ 可将上式转化为

$$\delta L=\sum _{\alpha }(\delta \mathit{\phi }\cdot (\mathit{r}\times {\dot{\mathit{p}}}_{\alpha })+\delta \mathit{\phi }\cdot (\mathit{v}\times {\mathit{p}}_{\alpha })=\delta \mathit{\phi }\cdot \sum _{\alpha }[(\mathit{r}\times {\dot{\mathit{p}}}_{\alpha })+(\mathit{v}\times {\mathit{p}}_{\alpha })]=0$$

又由 $AdB+BdA=dAB$ 以及 $v=dr/dt$，可得如下公式：

$$\delta L=\delta \mathit{\phi }\cdot \sum _{\alpha }[(\mathit{r}\times {\dot{\mathit{p}}}_{\alpha })+(\mathit{v}\times {\mathit{p}}_{\alpha })]=\delta \mathit{\phi }\cdot \sum _{\alpha }\frac{d}{dt}(\mathit{r}\times {\mathit{p}}_{\alpha })=0$$

又由于转角 $\delta \mathit{\phi }$的任意性，那么，封闭系统满足

$$\sum _{\alpha }\frac{d}{dt}(\mathit{r}\times {\mathit{p}}_{\alpha })=0$$

即有，封闭力学系统运动过程中，矢量

$$\mathit{M}=\sum _{\alpha }\mathit{r}\times {\mathit{p}}_{\alpha }$$

恒定不变，这个物理量称之为系统的角动量。

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任何封闭系统总共有 7 个这样的运动积分：能量、动量的三个分量和角动量的三个分量。