最小作用量原理 - 哈密顿原理
系统的广义坐标 / 广义速度
对于 \(s\) 个自由度的系统，可以完全刻画其位置的任意 \(s\) 个变量 \(q_1, q_2, \cdots , q_s\) 称为该系统的广义坐标。其导数 \(\dot q_i\) 则称为广义速度。
最小作用量原理
每一个系统都可以用一个确定函数
\[L(q_1, q_2, \cdots, q_s, \dot q_1, \dot q_2, \cdots, \dot q_s, t)
\]
来表征。简写为 \(L(q, \dot q, t)\) 。
已知系统在时刻 \(t = t_1\) 和 \(t = t_2\) 的位置分别为 \(q^{(1)}\) 和 \(q^{(2)}\) 。那么，系统在 \(t_1\) 和 \(t_2\) 时刻的运动一定使得积分
\[S = \int^{t_2}_{t_1} L(q, \dot q, t) dt
\]
取最小值，即为最小作用量原理。
上述积分称之为 作用量；函数 \(L\) 称之为给定系统的 拉格朗日函数。
由最小作用量原理推导给定系统的运动方程
加速度与坐标、速度的关系称之为运动方程。
积分（或者说作用量）取最小值，那么泛函 \(S\) 的变分为零，即
\[\delta S = \delta \int^{(t_1)}_{(t_2)} L(q, \dot q, t) dt = 0
\]
进一步推导得：
\[\delta S = \int^{(t_1)}_{(t_2)} (\frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta \dot q) dt = 0
\]
由于 \(\delta \dot q = \frac{d}{dt} (\delta q)\)，可得
\[\delta S = \int^{(t_1)}_{(t_2)} (\frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \frac{d}{dt} (\delta q)) dt = \int^{(t_1)}_{(t_2)} \frac{\partial L}{\partial q} \delta q dt + \int^{(t_1)}_{(t_2)} \frac{\partial L}{\partial \dot q} \frac{d}{dt} (\delta q) dt = 0
\]
将积分分成两个部分后，进一步推导后一部分的积分。由 \(dAB = AdB + BdA\) 可得 \(AdB = dAB - BdA\)，则上述积分进一步推导为
\[\delta S = \int^{(t_1)}_{(t_2)} \frac{\partial L}{\partial q} \delta q dt + \int^{(t_1)}_{(t_2)} [\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta q) - \delta q \frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot q})] dt = 0
\]
进一步计算积分，为
\[\delta S = \int^{(t_1)}_{(t_2)} \frac{\partial L}{\partial q} \delta q dt + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta q|^{t_2}_{t_1} - \int^{(t_1)}_{(t_2)} \delta q \frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot q}) dt = 0
\]
由于，\(t_1\) 和 \(t_2\) 处的位置已经给定，故其变分 \(\delta q\) 为零，则上述第二项为零。泛函变分 \(\delta S\) 计算为
\[\delta S = \int^{(t_1)}_{(t_2)} \frac{\partial L}{\partial q} \delta q dt - \int^{(t_1)}_{(t_2)} \delta q \frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot q}) dt = \int^{(t_1)}_{(t_2)} [\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot q})] \delta q dt = 0
\]
上述积分在 \(\delta q\) 任意取值时都应该等于零。所以，必然需要
\[\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot q}) = 0
\]
即
\[\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot q}) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0
\]
这个就是系统在 \(t_1\) 时刻到 \(t_2\) 时刻的运动微分方程，在力学中成为 拉格朗日方程。
