导数 - 微分 -偏导数 - 偏微分 - 全微分

在一些数学公式的推导中，常会遇到 $d$ / $\partial$ / $\delta$ \ $\mathrm{\Delta }$ 等符号。它们背后分别代表的数学含义？

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增量

设变量 $u$ 从它的一个初值 $u_1$ 变到终值 $u_2$，终值与初值的差 $u_2-u_1$ 就叫做变量 $u$ 的增量，记作 $\mathrm{\Delta }u$，即

$$\mathrm{\Delta }u=u_2-u_1$$

增量 $\mathrm{\Delta }u$ 可以是正的，也可以是负的。

应该注意到：记号 $\mathrm{\Delta }u$ 并不表示某个量 $\mathrm{\Delta }$ 与变量 $u$ 的乘积，而是一个整体不可分割的记号。

举例：
现在假定函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一个邻域内是有定义的。当自变量 $x$ 在这个邻域内从 $x_0$ 变到 $x_0+\mathrm{\Delta }x$ 时，函数值（或因变量） $f(x)$ 相应地从 $f(x_0)$ 变到 $f(x_0+\mathrm{\Delta }x)$，因此，函数值（或因变量） $f(x)$ 的对应增量为

$$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$$

习惯上也称 $\mathrm{\Delta }y$ 为函数的增量。

由此，可以定义函数的连续性，如下：

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0)$ 的某一个邻域内有定义，如果

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }y=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}[f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)]=0，$$

那么就称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 连续。

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导数

导数的定义： 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\mathrm{\Delta }x$ （点 $x_0+\mathrm{\Delta }x$ 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$；如果 $\mathrm{\Delta }y$ 与 $\mathrm{\Delta }x$ 之比当 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时的极限存在，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为 $f^{\prime }(x)$ ，即

$$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x},$$

也可记作 $y^{\prime }{|}_{x=x_0}$，$\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}$ 或 $\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$。

可以看出，导数等于 增量 $\mathrm{\Delta }y$ 和增量 $\mathrm{\Delta }x$ 比值的极限。

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函数的微分

微分的定义： 设函数 $y=f(x)$ 在某区间内有定义，$x_0$ 及 $x_0+\mathrm{\Delta }x$ 在这个区间内，如果函数的增量

$$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$$

可表示为

$$\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+\mathit{o}(\mathrm{\Delta }x)$$

其中，$A$ 是不依赖于 $\mathrm{\Delta }x$ 的常数，那么，称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 是可微的，而 $A\mathrm{\Delta }x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\mathrm{\Delta }x$ 的微分，即

$$dy=A\mathrm{\Delta }x$$

注： 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微的充要条件是函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导。

微分的意思是指，因变量的增量 $\mathrm{\Delta }y$，是自变量的增量 $\mathrm{\Delta }x$ 的线性函数，且记作 $dy$。所以说，应该有如下关系：
增量 $\mathrm{\Delta }y$ 是实实在在、真实的变化值。只是，只有当可导的时候，才能写成 $\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+\mathit{o}(\mathrm{\Delta }x)=dy+\mathit{o}(\mathrm{\Delta }x)=dy+\mathit{o}(dy)$ 。也就是说，微分，只是增量 $\mathrm{\Delta }y$ 的一个近似值。

另外一点，在定义导数的时候，也是用增量 $\mathrm{\Delta }y$ 与 $\mathrm{\Delta }x$ 的比值来定义的，并不是用微分。只是，导数的值，刚好等于微分 $dy$ 与 $dx$ 的比值。

注二： 通常把自变量 $x$ 的增量 $\mathrm{\Delta }x$ 称为自变量的微分，记作 $dx$，即 $dx=\mathrm{\Delta }x$。于是，函数 $y=f(x)$ 的微分又可记作为

$$dy=f^{\prime }(x)dx$$

从而有

$$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(x)$$

这就是说，函数的微分 $dy$ 与自变量的微分 $dx$ 之商等于该函数的导数，因此，导数也叫作“微商”。

微分的几何意义

如下图所示，自变量的增量为 $\mathrm{\Delta }x=PR$ ，因变量的增量为 $\mathrm{\Delta }y=RQ$ 。那么，在 $x_0$ 点作曲线的切线，则得到函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\mathrm{\Delta }x$ 的微分 $dy=R{Q}^{\prime }$ 。

由此可见，对于可微函数 $y=f(x)$ 而言，当 $\mathrm{\Delta }y$ 是曲线 $y=f(x)$ 上的点的纵坐标的增量时，$dy$ 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。
只是，当 $|\mathrm{\Delta }x|$ 很小时，$|\mathrm{\Delta }y-dy|\mathrm{比}$|\Delta x| 小得多。因此，在点 M 的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段。这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想之一。

基本初等函数的微分公式与微分运算法则

从函数的微分表达式

$$dy=f^{\prime }(x)dx$$

可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘自变量的微分。那么，可得到如下的微分公式和微分运算法则：

（略）

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偏导数

偏导数的定义： 设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义，当 $y$ 固定在 $y_0$ 而 $x$ 在 $x_0$ 处有增量 $\mathrm{\Delta }x$ 时，相应的函数有增量

$$f(x_0+x,y_0)-f(x_0,y_0)$$

如果

$$lim\mathrm{\Delta }x\to 0\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

存在，那么称此极限为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作

$$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{\begin{array}{r}x=x_0\\ y=y_0\end{array}},$$

如果函数 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 内每一个点 $(x,y)$ 处对 $x$ 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 $x$，$y$ 的函数，它就称为函数 $z=f(x,y)$ 对自变量 $x$ 的偏导函数，记作

$$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial x},\mathrm{或}{f}_x(x,y)$$

类似地，可以定义函数 $z=f(x,y)$ 对自变量 $y$ 的偏导函数，记作

$$\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial y},\mathrm{或}{f}_y(x,y)$$

注：偏导数仍然是增量的比值。

偏导数的几何意义：偏导数 $f_x(x,y)$ 的几何意义是曲面被平面 $y=y_0$ 所截得的曲线在点 $x_0$ 处的斜率。

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偏微分 / 全微分

根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得

$$\begin{array}{r}f(x+\mathrm{\Delta }x,y)-f(x,y)\approx f_x(x,y)\mathrm{\Delta }x,\\ f(x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)\approx f_y(x,y)\mathrm{\Delta }y,\end{array}$$

上面两式的左端分别叫做二元函数对 $x$ 和对 $y$ 的偏增量，而右端分别叫做二元函数对 $x$ 和对 $y$ 的偏微分。

全增量： 设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 的某个邻域内有定义，$P^{\prime }(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)$ 为这个邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差 $f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)$ 为函数在点 $P$ 对应于自变量增量 $\mathrm{\Delta }x$ 和 $\mathrm{\Delta }y$ 的全增量，记作 $\mathrm{\Delta }z$ ，即

$$\mathrm{\Delta }z=f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)$$

注：一般来说，计算全增量 $\mathrm{\Delta }z$ 比较复杂。与一元函数的情形类似，我们希望用自变量的增量 $\mathrm{\Delta }x$ 和 $\mathrm{\Delta }y$ 的线性函数来近似地代替函数的全增量 $\mathrm{\Delta }z$，从而引入如下定义：

全微分的定义： 设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的某个邻域内有定义，如果函数在点 $(x,y)$ 的全增量

$$\mathrm{\Delta }z=f(x+\mathrm{\Delta }x,y+\mathrm{\Delta }y)-f(x,y)$$

可表示为

$$\mathrm{\Delta }z=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y+\mathit{o}(\rho )$$

其中，$A$ 和 $B$ 不依赖于 $\mathrm{\Delta }x$ 和 $\mathrm{\Delta }y$ 而仅与 $x$ 和 $y$ 有关，$\rho =\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}$，那么称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，而 $A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$ 称为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的全微分，记作 $dz$ ，即

$$dz=A\mathrm{\Delta }x+B\mathrm{\Delta }y$$

可微与可导的关系
定理1： 如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，那么该函数在点 $(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在，且函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的全微分为

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{\Delta }y$$

定理2： 如果函数$z=f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x,y)$ 连续，那么该函数在该点可微分。

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小结

总的来说，讲的是 增量、导数、微分 之间的关系。增量是变化的准确值，而微分，则是增量的一个近似值。导数，是该点处的斜率，也是增量比值的极限。