（一）泛函的概念

泛函的定义

定义一： 泛函（functional）通常是指定义域为函数集，而值域为实数或者复数的映射。换而言之，泛函是从由函数组成的一个向量空间到标量域的映射。

定义二： 设 $\mathit{C}$ 是函数（形式）的集合，$\mathit{B}$ 是实数集合；如果对 $\mathit{C}$ 中的任一个元素 $y(x)$，在 $\mathit{B}$ 中都有一个元素 $\mathit{J}$ 与之对应，则称 $\mathit{J}$ 为 $y(x)$ 的泛函，记为 $\mathit{J}[y(x)]$。

这里的函数集合，即泛函的定义域，通常包含要求 $y(x)$ 满足一定的边界条件，并且有连续的二阶导数。这样的 $y(x)$ 称为可取函数。

最简泛函

泛函的形式可以是多种多样的，但是，这里只讨论以下这种积分的形式：

$$\mathit{J}[y]={\int }_{x_0}^{x_1}F(x,y,y^{\prime })dx$$

其中，$F$ 是它的宗量的已知函数，具有连续的二阶偏导数。称之为 最简泛函 。

最速降线问题

如图所示，在重力的作用下，一个质点从 $(x_0,y_0)$ 处沿着平面曲线 $y(x)$ 无摩擦地自由下滑到 $(x_1,y_1)$ 点处，则需要的时间为多少？

解析：对于微小弧长 $\mathrm{\Delta }S$，此时速度为 $v_t$。则划过微小弧长 $\mathrm{\Delta }S$ 的时长为 $\mathrm{\Delta }t=\frac{\mathrm{\Delta }S}{v_t}$。

由于重力势能转化为动能，则在 $t$ 时刻质点下降高度 $h=y_0-y$ 时，动能为 $\frac{1}{2}m{v}_t^2=mgh$，则有 $v_t=2gh$。

那么，$\mathrm{\Delta }t=\frac{\mathrm{\Delta }S}{\sqrt{2g(y_0-y)}}$

积分得到，所需时间为：

$$T={\int }_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y_1)}\frac{ds}{\sqrt{2g(y_0-y)}}={\int }_{x_0}^{x_1}\frac{\sqrt{1-y^{\prime 2}}}{\sqrt{2g(y_0-y)}}dx$$

在这里，要求变量函数 $y(x)$ 一定通过端点 $(x_0,y_0)$ 和 $(x_1,y_1)$。