[CODEVS 3037] 线段覆盖 5

描述

数轴上有n条线段，线段的两端都是整数坐标，坐标范围在0~10^18，每条线段有一个价值，请从n条线段中挑出若干条线段，使得这些线段两两不覆盖（端点可以重合）且线段价值之和最大。

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分析

提供两种思路:

1. 利用离散化. 因为这道题本来就是离散化的例题. 将点排序后依次赋值(1~2n, n为线段的条数), 再通过结构体里的信息将离散化后的点的坐标映射到线段上.

2. 利用二分法直接DP. 看到题解里有二分两个字, 自己YY出一套二分的做法不过好像和题解里的不一样: 将线段按终点从小到大排序, 考虑线段i, 用 f[i][0] 记录不选 i 的最大权值和, f[i][1] 记录选择 i 的最大权值和. 那么显然有 f[i][0] = max{f[i-1][0], f[i-1][1]}. 然后二分 (upper_bound()) 查找最后一个可以接在 i 前的线段 j, 那么 f[i][1] = max{f[j][0], f[j][1]} + v[i].

   不过尴尬的是第二种方法WA了四个点…而且差了不是一个数量级…

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代码

3791ms, 65MB

// 1. 离散化
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std; 

typedef long long LL;
const int maxn = 1000000 + 10;

LL f[maxn<<1];

struct Line { 
    int s, t, v;
    bool operator < (const Line& rhs) const {
        if(t != rhs.t) return t < rhs.t;
        if(s != rhs.s) return s < rhs.s;
        return v < rhs.v;
    }
}lines[maxn];

struct Point {
    bool d;     // d=0 -> on left; d=1 -> on right
    LL pos;     // previous position
    int id, x;  // id of the line, current position
    bool operator < (const Point& rhs) const {
        return pos < rhs.pos;
    }
}points[maxn<<1];

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        LL s, t;
        scanf("%lld%lld%d", &s, &t, &lines[i].v);
        points[i<<1] = (Point) {0, s, i};
        points[(i<<1)^1] = (Point) {1, t, i};
    }
    sort(points, points + 2*n);

    // discretization
    int base = 0, cnt = 0;
    while(base < 2*n) {
        int cur = base;
        points[cur++].x = ++cnt;
        while(points[cur].pos == points[base].pos && cur < 2*n) points[cur++].x = cnt;
        base = cur;
    }
    for(int i = 0; i < 2*n; i++) {
        Point& P = points[i];
        if(P.d == 0) lines[P.id].s = P.x;
        else lines[P.id].t = P.x;
    }
    sort(lines, lines + n);

    LL ans = 0LL;
    for(int cur = 0, pre = 0; cur < n; cur++) {
        Line& L = lines[cur];
        if(L.t != pre) {
            for(int i = pre + 1; i <= L.t; i++) f[i] = f[pre];
            pre = L.t;
        }
        ans = max(ans, (f[L.t] = max(f[L.t], f[L.s] + L.v)));
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}

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// 二分
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std; 

typedef long long ll;
const int maxn = 1000000 + 10;

ll f[maxn][2], t[maxn];

struct Line { 
    ll s, t, v;
    bool operator < (const Line& rhs) const {
        if(t != rhs.t) return t < rhs.t;
        if(v != rhs.v) return v > rhs.v;
        return s > rhs.s;
    }
}lines[maxn];

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        ll s, t, v;
        scanf("%lld%lld%lld", &s, &t, &v);
        lines[i] = (Line) {s, t, v};
    }
    sort(lines, lines + n);
    for(int i = 0; i < n; i++) t[i] = lines[i].t; // 用于二分查找 

    f[0][0] = 0; f[0][1] = lines[0].v;
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        Line L = lines[i];
        f[i][0] = max(f[i-1][0], f[i-1][1]);
        int j = upper_bound(t, t + n, L.s) - t - 1;
        if(j >= 0) f[i][1] = max(f[j][0], f[j][1]) + L.v;
        else f[i][1] = L.v; // 前面没有可以和它拼接的线段 
    }
    printf("%d\n", max(f[n-1][0], f[n-1][1]));
    return 0;
}