[总结] 平衡树总结

1. treap

• 堆的性质
  treap = tree + heap
  也就是 treap 是具有堆性质的平衡二叉树(BST), 而堆性质的维护就靠一个随机值和旋转操作. 可以是小根堆也可以是大根堆.
  用 r 数组(random)保存随机值, 那么在插入结点时需要维护堆性质(这里是大根堆)
  ch[o][0] 、ch[o][1] 分别表示 结点o 的左儿子和右儿子.
  自己定义宏 :
  #define lc ch[o][0]
#define rc ch[o][1]
  

  if(r[ch[o][d]] > r[o]) rotate(o, d^1);  // rotate见下方
  

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• 左旋和右旋 有太多的相似处, 可以用一个带旋转方向参数的 rotate 操作来完成
  d = 0 表示左旋, d = 1 表示右旋.
  

  void rotate(int& o, int d) { 
      int k = ch[o][d^1]; ch[o][d^1] = ch[k][d]; 
      ch[k][d] = o; update(o); update(k); o = k;
  }
  

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• 删除

  • 首先得找到要删除的结点

  • 如果该结点只有一个左儿子或只有一个右儿子, 直接将它把要删除的结点取代.

      if(lc * rc == 0) o = lc + rc; 

  • 否则就考虑堆性质的维护

     int d2 = tr[t.ch[0]].r < tr[t.ch[1]].r ? 1 : 0;
     rotate(o, d2); remove(o, x);
    

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• 查询
  
  • 查询第 k 大
    如果要查询的结点在当前结点的右儿子上, 那么继续查询右儿子的第k-s[lc]-1大.
  • 查询某结点排名
    如果要查询的结点在当前结点的右儿子上, 那么排名应该增加s[lc]+1.

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2. splay

• 和 treap 比较起来, splay 多的就是伸展(splay)操作.

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• 关于伸展操作

  • 两种实现方式 : 自顶向下和自底向上.
    自底向上的 splay 我是参考的 HZWER, 需要使用fa数组记录当前结点的父结点. 比较方便的是可以直接通过这个fa数组发现从一个结点走到任意已知结点的路径. 于是就诞生了自底向上的splay. 正因为这种特性, 这种伸展方式可以适应任何题目.

    void rotate(int& px, int& x, int d) {
        int t = ch[x][d]; ch[x][d] = px; ch[px][d^1] = t; 
        p[x] = p[px]; p[px] = x; p[t] = px; update(px); update(x); px = x;
    } 
    
     void splay(int x, int& k) {
        while(x != k) {
            int y = p[x], z = p[y];
            int d = ch[y][0] == x ? 0 : 1;
            int d2 = ch[z][0] == y ? 0 : 1;
            if(y != k) rotate(ch[z][d2], x, d^1); else rotate(k, x, d^1);
        }
    }

  • 自顶向下的 splay 可以看《训练指南》, 刘汝佳的代码. 比较简洁高效. 我是把指针改成了数组, 不习惯指针的写法, 主要是不知道怎么调试.

    void splay(int& o, int k) {
        int d = cmp(o, k);
        if(d == -1) return;
        if(d == 1) k -= s[lc] + 1;
        int p = ch[o][d];
        int d2 = cmp(p, k);
        int k2 = (d2 == 0) ? k : k-s[ch[p][0]]-1;
        if(d2 != -1) {
            splay(ch[p][d2], k2);
            if(d == d2) rotate(o, d^1); else rotate(ch[o][d], d);
        }
        rotate(o, d^1);
    } 

  • 自顶向下就需要知道你想 splay 的结点的排名. 那么有的题目比如 书架 那个题, 直接告诉你哪个结点编号, 但它是第几个结点不知道, 这样就只能用第一种自底向上的splay了.

  • 另外splay可以一次旋转两回也可以旋转一回, 即单旋和双旋. 单旋的方法比较简单, 整个过程相当于先找到第 k 个结点, 再递归自底向上旋转到目标结点. 不过在有些情况会退化成一条链O(n). 转两回的参考《训练指南》.
    

    void splay(int& o, int k) {
        int d = cmp(o, k);
        if(d == -1) return;
        if(d == 1) k -= s[lc] + 1;
        splay(ch[o][d], k); 
        rotate(o, d^1);
    } 

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• 其他操作和 treap 差不多, 但 splay 支持很多区间操作

  • 得到一段区间, 把它移动到一个固定结点.
    都采用自顶向下的splay
    注意这里在首部和末尾都添加一个虚拟结点防止溢出.

  // 移动到根结点右儿子的左儿子
  void getInterval(int o, int L, int R) {
      splay(o, L);
      splay(rc, R - s[lc] - 1);
  }

  // 移动到根结点左儿子的右儿子
  void getInterval(int o, int L, int R) {
      splay(o, L);
      splay(o, R + 2);
  }

  • 第二种方法只适用于单旋splay
  • 有了这个获取区间的题目, 就可以完成很多区间的题目, 比如区间修改、区间翻转、区间标记之类的.

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