bzoj4446 [Scoi2015]小凸玩密室

Description

小凸和小方相约玩密室逃脱，这个密室是一棵有n个节点的完全二叉树，每个节点有一个灯泡。点亮所有灯泡即可逃出密室。每个灯泡有个权值Ai，每条边也有个权值bi。点亮第1个灯泡不需要花费，之后每点亮4个新的灯泡V的花费，等于上一个被点亮的灯泡U到这个点V的距离Du,v，乘以这个点的权值Av。在点灯的过程中，要保证任意时刻所有被点亮的灯泡必须连通，在点亮一个灯泡后必须先点亮其子树所有灯泡才能点亮其他灯泡。请告诉他们，逃出密室的最少花费是多少。

Input

第1行包含1个数n，代表节点的个数

第2行包含n个数，代表每个节点的权值ai。(i=l，2，…，n)

第3行包含n-l个数，代表每条边的权值bi，第i号边是由第(i+1)/2号点连向第i+l号点的边。

(i=l，2...N-1)

Output

输出包含1个数，代表最少的花费。

Sample Input

3
5 1 2
2 1

Sample Output

5

HINT 

对于100%的数据，1≤N≤2×105，1<Ai,Bi≤10^5

 

正解：树形$dp$。

一道超级神题。。

首先看看题目告诉了我们什么信息吧：

$1.$完全二叉树，所以树高是$logn$的。

$2.$走过的点是一个连通块。

$3.$走了一个点就必须把它的子树先走完。

$4.$走到当前点的代价只和上一个点有关。

那么我们考虑一下一条合法的行走路径，必定是先到一个点，然后把它的子树走完，然后走它的父亲，然后再走它的兄弟以及子树。

那么我们就可以根据这个统计答案了，设$g[x][i]$表示$x$遍历子树以后再到$x$深度为$i$的祖先的最小值，因为树高是$logn$的，所以这个状态是显然可以设出来的。

有了这个状态以后，我们就能模拟计算答案的过程了，我们只要枚举每一个点为起点然后走一下路径即可。

现在的问题是$g[x][i]$该怎么求，首先如果$x$是叶子结点的话就很简单，就是$x$到深度为$i$的祖先的路径贡献。

如果不是叶子结点且只有一个儿子，那么就是$x$到它儿子的路径贡献，再加上儿子遍历子树到深度为$i$的祖先的贡献。

如果有两个儿子，就分类讨论一下先走左儿子还是右儿子，假设先走左儿子，那么就是$x$到左儿子的路径贡献，左儿子再遍历子树跳到右儿子的贡献，加上右儿子遍历子树到深度为$i$的祖先的贡献。

这时，我们发现左儿子遍历子树再跳到右儿子这个贡献很不好算，那么我们再设一个状态，设$f[x][i]$表示$x$遍历子树以后再到深度为$i$的祖先的兄弟的最小值，这样就能实现$g$的转移了。

于是我们的问题就变成了求$f[x][i]$，这个与$g[x][i]$求法类似，不再赘述。

于是我们就成功地解决了这道题。

 

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define N (200010)
#define ls (x<<1)
#define rs (x<<1|1)

using namespace std;

ll g[N][20],f[N][20],a[N],b[N],dis[N],ans;
int dep[N],n;

il int gi(){
  RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
  while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
  if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
  while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return q*x;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("light.in","r",stdin);
  freopen("light.out","w",stdout);
#endif
  n=gi(),dep[1]=1; for (RG int i=1;i<=n;++i) a[i]=gi();
  for (RG int i=2;i<=n;++i) b[i]=gi(),dep[i]=dep[i>>1]+1,dis[i]=dis[i>>1]+b[i];
  for (RG int x=n,y,o;x>1;--x)
    for (RG int i=2;i<=dep[x];++i)
      if (ls>n) o=x>>(dep[x]-i+1),y=(x>>(dep[x]-i))^1,f[x][i]=(dis[x]+dis[y]-2*dis[o])*a[y];
      else if (ls==n) f[x][i]=a[n]*b[n]+f[n][i];
      else f[x][i]=min(a[ls]*b[ls]+f[ls][dep[x]+1]+f[rs][i],a[rs]*b[rs]+f[rs][dep[x]+1]+f[ls][i]);
  for (RG int x=n,y;x;--x)
    for (RG int i=0;i<=dep[x];++i)
      if (ls>n) y=x>>(dep[x]-i),g[x][i]=i?(dis[x]-dis[y])*a[y]:0;
      else if (ls==n) g[x][i]=a[n]*b[n]+g[n][i];
      else g[x][i]=min(a[ls]*b[ls]+f[ls][dep[x]+1]+g[rs][i],a[rs]*b[rs]+f[rs][dep[x]+1]+g[ls][i]);
  ans=g[1][0];
  for (RG int i=2;i<=n;++i){
    RG ll res=g[i][dep[i]-1];
    for (RG int x=i,y,o;x>1;x>>=1)
      y=x^1,o=x>>1,res+=y>n?(a[o>>1]*b[o]):(a[y]*b[y]+g[y][dep[o]-1]);
    ans=min(ans,res);
  }
  cout<<ans; return 0;
}