bzoj3925 [Zjoi2015]地震后的幻想乡

Description

 傲娇少女幽香是一个很萌很萌的妹子，而且她非常非常地有爱心，很喜欢为幻想乡的人们做一些自己力所能及的事情来帮助他们。 这不，幻想乡突然发生了地震，所有的道路都崩塌了。现在的首要任务是尽快让幻想乡的交通体系重新建立起来。幻想乡一共有n个地方，那么最快的方法当然是修复n-1条道路将这n个地方都连接起来。 幻想乡这n个地方本来是连通的，一共有m条边。现在这m条边由于地震的关系，全部都毁坏掉了。每条边都有一个修复它需要花费的时间，第i条边所需要的时间为ei。地震发生以后，由于幽香是一位人生经验丰富，见得多了的长者，她根据以前的经验，知道每次地震以后，每个ei会是一个0到1之间均匀分布的随机实数。并且所有ei都是完全独立的。 现在幽香要出发去帮忙修复道路了，她可以使用一个神奇的大魔法，能够选择需要的那n-1条边，同时开始修复，那么修复完成的时间就是这n-1条边的ei的最大值。当然幽香会先使用一个更加神奇的大魔法来观察出每条边ei的值，然后再选择完成时间最小的方案。 幽香在走之前，她想知道修复完成的时间的期望是多少呢？ 

Input

第一行两个数n,m，表示地方的数量和边的数量。其中点从1到n标号。 

接下来m行，每行两个数a,b，表示点a和点b之间原来有一条边。 

这个图不会有重边和自环。 

Output

一行输出答案，四舍五入保留6位小数。 

Sample Input

5 4
1 2
1 5
4 3
5 3

Sample Output

0.800000

HINT 

提示： 

（以下内容与题意无关，对于解题也不是必要的。） 

对于n个[0,1]之间的随机变量x1,x2,...,xn，第k小的那个的期望值是k/(n+1)。 

样例解释： 

对于第一个样例，由于只有4条边，幽香显然只能选择这4条，那么答案就是4条边的ei中最大的数的期望，由提示中的内容，可知答案为0.8。 

数据范围： 

对于所有数据：n<=10, m<=n(n-1)/2, n,m>=1。 

对于15%的数据：n<=3。 

另有15%的数据：n<=10, m=n。 

另有10%的数据：n<=10, m=n(n-1)/2。 

另有20%的数据：n<=5。 

另有20%的数据：n<=8。

 

正解：子集$dp$+微积分。

首先我们要知道一个事情，就是所有答案小于等于$x$的概率的和就是答案的期望，其中$x$可取$[0,1]$的任意数。

这个东西，要用分部积分来证明。。可以去网上别的博客看看，我不是很会。。

然后根据给的提示，我们可以算出所有答案$<$第$k$条边权的期望，再相加得到答案。

那么我们就可以设状态了，设$f[S][i]$表示$S$集合的点，有$i$条边且不连通的方案数，$g[S][i]$表示连通的方案数。

那么我们可以固定一个点，然后枚举和它在同一个集合的点。

那么$f[S][i]=\sum g[T][j]*\binom{cnt[S-T]}{i-j}$，其中$cnt[S]$表示$S$这个集合中的边数，$T$是$S$的子集且包含$S$的一个定点。

然后$g[S][i]=\binom{cnt[S]}{i}-f[S][i]$。

最后我们把$\sum_{i=0}^{m}f[all][i]$相加，再除以$m+1$就得到答案，因为前面算出来的是方案数，还要除概率。

 

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long

using namespace std;

struct edge{ int u,v; }e[110];

double c[110][110],f[1024][110],g[1024][110],ans;
int cnt[1024],n,m,all;

il int gi(){
  RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
  while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
  if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
  while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return q*x;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("mst.in","r",stdin);
  freopen("mst.out","w",stdout);
#endif
  n=gi(),m=gi(),all=1<<n,c[0][0]=1;
  for (RG int i=1;i<=m;++i) e[i]=(edge){gi(),gi()};
  for (RG int i=1;i<=m;++i){
    c[i][0]=c[i][i]=1;
    for (RG int j=1;j<i;++j) c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
  }
  for (RG int S=1;S<all;++S){
    for (RG int i=1;i<=m;++i)
      cnt[S]+=(S>>(e[i].u-1)&1) && (S>>(e[i].v-1)&1);
    for (RG int u=S & -S,s=(S-1)&S,sub;s;s=(s-1)&S){
      if (!(u&s)) continue; sub=S^s;
      for (RG int i=0;i<=cnt[s];++i)
    for (RG int j=0;j<=cnt[sub];++j)
      f[S][i+j]+=g[s][i]*c[cnt[sub]][j];
    }
    for (RG int i=0;i<=cnt[S];++i) g[S][i]=c[cnt[S]][i]-f[S][i];
  }
  for (RG int i=0;i<=m;++i) ans+=f[all-1][i]/c[m][i];
  printf("%0.6lf\n",ans/(m+1)); return 0;
}