bzoj1965 [Ahoi2005]洗牌

Description

为了表彰小联为Samuel星球的探险所做出的贡献，小联被邀请参加Samuel星球近距离载人探险活动。 由于Samuel星球相当遥远，科学家们要在飞船中度过相当长的一段时间，小联提议用扑克牌打发长途旅行中的无聊时间。玩了几局之后，大家觉得单纯玩扑克牌对于像他们这样的高智商人才来说太简单了。有人提出了扑克牌的一种新的玩法。 对于扑克牌的一次洗牌是这样定义的，将一叠N（N为偶数）张扑克牌平均分成上下两叠，取下面一叠的第一张作为新的一叠的第一张，然后取上面一叠的第一张作为新的一叠的第二张，再取下面一叠的第二张作为新的一叠的第三张……如此交替直到所有的牌取完。 如果对一叠6张的扑克牌1 2 3 4 5 6，进行一次洗牌的过程如下图所示： 

 从图中可以看出经过一次洗牌，序列1 2 3 4 5 6变为4 1 5 2 6 3。当然，再对得到的序列进行一次洗牌，又会变为2 4 6 1 3 5。 游戏是这样的，如果给定长度为N的一叠扑克牌，并且牌面大小从1开始连续增加到N（不考虑花色），对这样的一叠扑克牌，进行M次洗牌。最先说出经过洗牌后的扑克牌序列中第L张扑克牌的牌面大小是多少的科学家得胜。小联想赢取游戏的胜利，你能帮助他吗？

Input

有三个用空格间隔的整数，分别表示N，M，L （其中0＜ N ≤ 10 ^ 10 ，0 ≤ M ≤ 10^ 10，且N为偶数）。

Output

单行输出指定的扑克牌的牌面大小。

Sample Input

6 2 3

Sample Output

6

 

正解：快速幂。

首先这是一个置换。

然后我们可以打表发现，它置换以后的数在模$n+1$意义下乘$2$就是它自己。

于是用一个快速幂，再求一个逆元就行了。

 

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long

using namespace std;

ll n,m,l,rhl;

il void exgcd(RG ll a,RG ll b,RG ll &x,RG ll &y){
  if (!b){ x=1,y=0; return; } exgcd(b,a%b,y,x);
  y-=a/b*x; return;
}

il ll inv(RG ll v){
  RG ll x,y; exgcd(v,rhl,x,y);
  while (x<0) x+=rhl; return x;
}

il ll qpow(RG ll a,RG ll b){
  RG ll ans=1;
  while (b){
    if (b&1) ans=ans*a%rhl;
    a=a*a%rhl,b>>=1;
  }
  return ans;
}

il ll qmul(RG ll a,RG ll b){
  RG ll ans=0;
  while (b){
    if (b&1) ans=(ans+a)%rhl;
    a=(a<<1)%rhl,b>>=1;
  }
  return ans;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("shuffle.in","r",stdin);
  freopen("shuffle.out","w",stdout);
#endif
  cin>>n>>m>>l,rhl=n+1;
  RG ll bin=qpow(2,m);
  cout<<qmul(l,inv(bin));
  return 0;
}