bzoj2142 礼物
Description
一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。
Input
输入的第一行包含一个正整数P，表示模；
第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；
以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。
Output
若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。
Sample Input
100
4 2
1
2
4 2
1
2
Sample Output
12
【样例说明】
下面是对样例1的说明。
以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：
1/23 1/24 1/34
2/13 2/14 2/34
3/12 3/14 3/24
4/12 4/13 4/23
【数据规模和约定】
设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。
对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5。
【样例说明】
下面是对样例1的说明。
以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：
1/23 1/24 1/34
2/13 2/14 2/34
3/12 3/14 3/24
4/12 4/13 4/23
【数据规模和约定】
设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。
对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5。
正解：扩展$lucas$定理。
答案是什么就不说了，难点在于模数不是质数。
使用扩展$lucas$定理，可以解决模数是质数的$k$次方的情况，然后我们再用$CRT$就可以把答案合并。
具体就不说了，推荐一个讲得很好的博客：扩展lucas定理
注意一个地方，就是阶乘的$p$因子个数，在下面代码的$get$函数中求。
还有一点，此题细节巨多，因为没给出$p$的范围，所以任何地方都要考虑会不会爆。。
1 #include <bits/stdc++.h> 2 #define il inline 3 #define RG register 4 #define ll long long 5 6 using namespace std; 7 8 ll a[10],m,n,pp,sum,ans,rhl; 9 10 il ll qpow(RG ll a,RG ll b,RG ll p){ 11 RG ll ans=1; 12 while (b){ 13 if (b&1) (ans*=a)%=p; 14 (a*=a)%=p,b>>=1; 15 } 16 return ans; 17 } 18 19 il ll inv(RG ll a,RG ll p,RG ll pr){ 20 return qpow(a,pr/p*(p-1)-1,pr); 21 } 22 23 il ll get(RG ll n,RG ll p){ 24 RG ll ans=0; for (;n;n/=p) ans+=n/p; return ans; 25 } 26 27 il ll fac(RG ll n,RG ll p,RG ll pr){ 28 if (!n) return 1; RG ll ans=qpow(pp,n/pr,pr); 29 for (RG ll i=2;i<=n%pr;++i) if (i%p) (ans*=i)%=pr; 30 return ans*fac(n/p,p,pr)%pr; 31 } 32 33 il ll C(RG ll n,RG ll m,RG ll p,RG ll pr){ 34 if (n<m) return 0; RG ll a,b,c,ans; pp=1; 35 for (RG ll i=2;i<=pr;++i) if (i%p) (pp*=i)%=pr; 36 ans=qpow(p,get(n,p)-get(m,p)-get(n-m,p),pr); 37 a=fac(n,p,pr),b=fac(m,p,pr),c=fac(n-m,p,pr); 38 (ans*=a*inv(b,p,pr)%pr*inv(c,p,pr)%pr)%=pr; 39 return ans*(rhl/pr)%rhl*inv(rhl/pr%pr,p,pr)%rhl; 40 } 41 42 int main(){ 43 #ifndef ONLINE_JUDGE 44 freopen("gift.in","r",stdin); 45 freopen("gift.out","w",stdout); 46 #endif 47 cin>>rhl>>n>>m; 48 for (RG ll i=1;i<=m;++i) cin>>a[i],sum+=a[i]; 49 if (sum>n) puts("Impossible"),exit(0); ans=1; 50 for (RG ll i=1,P,res,pr;i<=m;++i){ 51 P=rhl,res=0; 52 for (RG ll j=2;j*j<=P;++j){ 53 if (P%j) continue; pr=1; 54 while (P%j==0) P/=j,pr*=j; 55 (res+=C(n,a[i],j,pr))%=rhl; 56 } 57 if (P!=1) (res+=C(n,a[i],P,P))%=rhl; 58 (ans*=res)%=rhl,n-=a[i]; 59 } 60 cout<<ans; return 0; 61 }
