bzoj5020 [THUWC 2017]在美妙的数学王国中畅游
Description
数字和数学规律主宰着这个世界。
机器的运转,
生命的消长,
宇宙的进程,
这些神秘而又美妙的过程无不可以用数学的语言展现出来。
这印证了一句古老的名言:
“学好数理化,走遍天下都不怕。”
学渣小R被大学的数学课程虐得生活不能自理,微积分的成绩曾是他在教室里上的课的最低分。然而他的某位陈姓室友却能轻松地在数学考试中得到满分。为了提升自己的数学课成绩,有一天晚上(在他睡觉的时候),他来到了数学王国。
数学王国中,每个人的智商可以用一个属于 [0,1]的实数表示。数学王国中有 n 个城市,编号从 0 到 n−1 ,这些城市由若干座魔法桥连接。每个城市的中心都有一个魔法球,每个魔法球中藏有一道数学题。每个人在做完这道数学题之后都会得到一个在 [0,1] 区间内的分数。一道题可以用一个从 [0,1] 映射到 [0,1]的函数 f(x) 表示。若一个人的智商为 x ,则他做完这道数学题之后会得到 f(x)分。函数 f有三种形式:
正弦函数 sin(ax+b) (a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])
指数函数 e^(ax+b) (a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])
一次函数 ax+b (a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1]
数学王国中的魔法桥会发生变化,有时会有一座魔法桥消失,有时会有一座魔法桥出现。但在任意时刻,只存在至多一条连接任意两个城市的简单路径(即所有城市形成一个森林)。在初始情况下,数学王国中不存在任何的魔法桥。
数学王国的国王拉格朗日很乐意传授小R数学知识,但前提是小R要先回答国王的问题。这些问题具有相同的形式,即一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v(即经过 u 到 v 这条路径上的所有城市,包括 u和 v )且做了所有城市内的数学题后,他所有得分的总和是多少。
Input
第一行两个正整数 n,m 和一个字符串 type 。
表示数学王国中共有 n 座城市,发生了 m 个事件,该数据的类型为 type 。
typet 字符串是为了能让大家更方便地获得部分分,你可能不需要用到这个输入。
其具体含义在【数据范围与提示】中有解释。
接下来 n 行,第 i 行表示初始情况下编号为 i 的城市的魔法球中的函数。
一个魔法用一个整数 f表示函数的类型,两个实数 a,b 表示函数的参数,若
f=1,则函数为 f(x)=sin(ax+b)(a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])
f=2,则函数为 f(x)=e^(ax+b)(a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])
f=3,则函数为 f(x)=ax+b(a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1])
接下来 m行,每行描述一个事件,事件分为四类。
appear u v 表示数学王国中出现了一条连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥 (0≤u,v<n,u≠v) ,保证连接前 u和 v 这两座城市不能互相到达。
disappear u v 表示数学王国中连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥消失了,保证这座魔法桥是存在的。
magic c f a b 表示城市 c 的魔法球中的魔法变成了类型为 f ,参数为 a,b 的函数
travel u v x 表示询问一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v
(即经过 u到 v 这条路径上的所有城市,包括 u 和 v )后,他得分的总和是多少。
若无法从 u 到达 v ,则输出一行一个字符串 unreachable。
1≤n≤100000,1≤m≤200000
Output
对于每个询问,输出一行实数,表示得分的总和。
Sample Input
3 7 C1
1 1 0
3 0.5 0.5
3 -0.5 0.7
appear 0 1
travel 0 1 0.3
appear 0 2
travel 1 2 0.5
disappear 0 1
appear 1 2
travel 1 2 0.5
1 1 0
3 0.5 0.5
3 -0.5 0.7
appear 0 1
travel 0 1 0.3
appear 0 2
travel 1 2 0.5
disappear 0 1
appear 1 2
travel 1 2 0.5
Sample Output
9.45520207e-001
1.67942554e+000
1.20000000e+000
1.67942554e+000
1.20000000e+000
正解:$link-cut \ tree$+泰勒展开。
这题好像直接$LCT$就有$55$分,不过我没机会去,而且当时还不会$LCT$。。
其实学了高数以后这道题比较简单了,我们肯定是对于每个点在$LCT$上维护一个多项式。
一次函数的多项式形式很好搞,那么$e$为底的指数函数和三角函数呢?
根据泰勒中值定理,
上面这个式子是蒯的百度百科。。
$e^{x}$一阶导数就是$e^{x}$,同理,$n$阶导数也是$e^{x}$。
$sin(x)$的一阶导数是$cos(x)$,$cos(x)$的一阶导数是$-sin(x)$,$-sin(x)$的一阶导数是$-cos(x)$,$-cos(x)$的一阶导数是$sin(x)$,所以$sin(x)$的$n$阶导数$4$个一循环。
然后我们把$b$当成$x0$,于是$e^{x}=e^{b}+\frac{e^{b}ax}{1!}+\frac{e^{b}a^{2}x^{2}}{2!}+\frac{e^{b}a^{3}x^{3}}{3!}+...+\frac{e^{b}a^{n}x^{n}}{n!}$
$sin(x)=sin(b)+\frac{cos(b)ax}{1!}-\frac{sin(b)a^{2}x^{2}}{2!}-\frac{cos(b)a^{3}x^{3}}{3!}+\frac{sin(b)a^{4}x^{4}}{4!}+...$
大概展开$14$层就能保证精度了。
1 #include <bits/stdc++.h> 2 #define il inline 3 #define RG register 4 #define ll long long 5 #define N (100010) 6 7 using namespace std; 8 9 int ch[N][2],fa[N],st[N],rev[N],n,m; 10 double sum[N][15],val[N][15],a,b; 11 char str[12]; 12 13 il int gi(){ 14 RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); 15 while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar(); 16 if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); 17 while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); 18 return q*x; 19 } 20 21 il int isroot(RG int x){ 22 return ch[fa[x]][0]!=x && ch[fa[x]][1]!=x; 23 } 24 25 il void pushup(RG int x){ 26 for (RG int i=0;i<=14;++i) 27 sum[x][i]=sum[ch[x][0]][i]+sum[ch[x][1]][i]+val[x][i]; 28 return; 29 } 30 31 il void pushdown(RG int x){ 32 rev[x]=0,swap(ch[x][0],ch[x][1]); 33 rev[ch[x][0]]^=1,rev[ch[x][1]]^=1; return; 34 } 35 36 il void rotate(RG int x){ 37 RG int y=fa[x],z=fa[y],k=ch[y][0]==x; 38 if (!isroot(y)) ch[z][ch[z][1]==y]=x; 39 fa[x]=z,ch[y][k^1]=ch[x][k],fa[ch[x][k]]=y; 40 ch[x][k]=y,fa[y]=x,pushup(y),pushup(x); return; 41 } 42 43 il void splay(RG int x){ 44 RG int top=0; st[++top]=x; 45 for (RG int i=x;!isroot(i);i=fa[i]) st[++top]=fa[i]; 46 for (RG int i=top;i;--i) if (rev[st[i]]) pushdown(st[i]); 47 while (!isroot(x)){ 48 RG int y=fa[x],z=fa[y]; 49 if (!isroot(y)){ 50 if ((ch[z][0]==y)^(ch[y][0]==x)) rotate(x); 51 else rotate(y); 52 } 53 rotate(x); 54 } 55 return; 56 } 57 58 il void access(RG int x){ 59 RG int t=0; 60 while (x){ 61 splay(x),ch[x][1]=t; 62 pushup(x),t=x,x=fa[x]; 63 } 64 return; 65 } 66 67 il void makeroot(RG int x){ 68 access(x),splay(x),rev[x]^=1; return; 69 } 70 71 il void link(RG int x,RG int y){ 72 makeroot(x),fa[x]=y; return; 73 } 74 75 il void cut(RG int x,RG int y){ 76 makeroot(x),access(y),splay(y); 77 ch[y][0]=fa[x]=0,pushup(y); return; 78 } 79 80 il int find(RG int x){ 81 access(x),splay(x); 82 while (ch[x][0]) x=ch[x][0]; 83 return x; 84 } 85 86 il double query(RG int x,RG int y,RG double a){ 87 makeroot(x),access(y),splay(y); RG double res=0,s=1; 88 for (RG int i=0;i<=14;++i) res+=s*sum[y][i],s*=a; 89 return res; 90 } 91 92 il void make1(RG int i,RG double a,RG double b){ 93 memset(val[i],0,sizeof(val[i])); 94 RG double inv=1,s=1,S=sin(b),C=cos(b); val[i][0]=S; 95 for (RG int j=1;j<=12;j+=4){ 96 inv*=j,s*=a,val[i][j]=C*s/inv; 97 inv*=(j+1),s*=a,val[i][j+1]=-S*s/inv; 98 inv*=(j+2),s*=a,val[i][j+2]=-C*s/inv; 99 inv*=(j+3),s*=a,val[i][j+3]=S*s/inv; 100 } 101 inv*=13,s*=a,val[i][13]=C*s/inv; 102 inv*=14,s*=a,val[i][14]=-S*s/inv; 103 return; 104 } 105 106 il void make2(RG int i,RG double a,RG double b){ 107 memset(val[i],0,sizeof(val[i])); 108 RG double inv=1,ex=exp(b),s=1; val[i][0]=ex; 109 for (RG int j=1;j<=14;++j) 110 inv*=j,s*=a,val[i][j]=ex*s/inv; 111 return; 112 } 113 114 il void make3(RG int i,RG double a,RG double b){ 115 memset(val[i],0,sizeof(val[i])); 116 val[i][1]=a,val[i][0]=b; return; 117 } 118 119 int main(){ 120 #ifndef ONLINE_JUDGE 121 freopen("math.in","r",stdin); 122 freopen("math.out","w",stdout); 123 #endif 124 n=gi(),m=gi(),scanf("%s",str); 125 for (RG int i=1,f;i<=n;++i){ 126 f=gi(),scanf("%lf%lf",&a,&b); 127 if (f==1) make1(i,a,b); 128 if (f==2) make2(i,a,b); 129 if (f==3) make3(i,a,b); 130 } 131 for (RG int i=1,f,x,u,v;i<=m;++i){ 132 scanf("%s",str); 133 if (str[0]=='a') u=gi()+1,v=gi()+1,link(u,v); 134 if (str[0]=='d') u=gi()+1,v=gi()+1,cut(u,v); 135 if (str[0]=='m'){ 136 x=gi()+1,f=gi(),scanf("%lf%lf",&a,&b); 137 makeroot(x); 138 if (f==1) make1(x,a,b); 139 if (f==2) make2(x,a,b); 140 if (f==3) make3(x,a,b); 141 pushup(x); 142 } 143 if (str[0]=='t'){ 144 u=gi()+1,v=gi()+1,scanf("%lf",&a); 145 if (find(u)!=find(v)) puts("unreachable"); 146 else printf("%0.8e\n",query(u,v,a)); 147 } 148 } 149 return 0; 150 }