bzoj2956 模积和

Description

　求∑∑((n mod i)*(m mod j))其中1<=i<=n,1<=j<=m,i≠j。

Input

第一行两个数n,m。

Output

　　一个整数表示答案mod 19940417的值

Sample Input

3 4

Sample Output

1
样例说明
答案为(3 mod 1)*(4 mod 2)+(3 mod 1) * (4 mod 3)+(3 mod 1) * (4 mod 4) + (3 mod 2) * (4 mod 1) + (3 mod 2) * (4 mod 3) + (3 mod 2) * (4 mod 4) + (3 mod 3) * (4 mod 1) + (3 mod 3) * (4 mod 2) + (3 mod 3) * (4 mod 4) = 1

数据规模和约定
　　对于100%的数据n,m<=10^9。

 

正解：数论分块。

注意到$n \mod i=n-\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor*i$，然后我们容斥一下，先总体算出来，再减去不合法的情况。

把式子全部暴力展开，发现可以直接数论分块乱搞到$O(\sqrt{n})$，于是这题就做完了。

 

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define phi (17091780)
#define rhl (19940417)
 
using namespace std;
 
ll s,n,m,inv,ans,ans1,ans2,ans3;
 
il ll qpow(RG ll a,RG ll b){
  RG ll ans=1;
  while (b){
    if (b&1) ans=ans*a%rhl;
    a=a*a%rhl,b>>=1;
  }
  return ans;
}
 
il ll calc(RG ll x){ return (1+x)*x/2%rhl; }
 
il ll cal(RG ll x){ return x*(x+1)%rhl*(2*x+1)%rhl*inv%rhl; }
 
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("modsum.in","r",stdin);
  freopen("modsum.out","w",stdout);
#endif
  cin>>n>>m,inv=qpow(6,phi-1);
  for (RG ll i=1,pos;i<=n;i=pos+1)
    pos=n/(n/i),ans1=(ans1+n/i*(calc(pos)-calc(i-1)+rhl))%rhl;
  for (RG ll i=1,pos;i<=m;i=pos+1)
    pos=m/(m/i),ans2=(ans2+m/i*(calc(pos)-calc(i-1)+rhl))%rhl;
  ans1=(1LL*n*n-ans1)%rhl,ans2=(1LL*m*m-ans2)%rhl,ans=1LL*ans1*ans2%rhl,s=min(n,m);
  for (RG ll i=1,pos;i<=s;i=pos+1)
    pos=min(n/(n/i),m/(m/i)),ans3=(ans3+n*m%rhl*(pos-i+1)%rhl-(n*(m/i)+m*(n/i))%rhl*(calc(pos)-calc(i-1)+rhl)%rhl+rhl+(n/i)*(m/i)%rhl*(cal(pos)-cal(i-1)+rhl)%rhl)%rhl;
  ans=(ans-ans3+rhl)%rhl; cout<<ans; return 0;
}