bzoj4318 OSU!

 

Description

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。 

我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子: 

一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释） 

现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。 

Input

第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。 

Output

只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。 

Sample Input

3
0.5
0.5
0.5

Sample Output

6.0

HINT

【样例说明】 

000分数为0，001分数为1，010分数为1，100分数为1，101分数为2，110分数为8，011分数为8，111分数为27，总和为48，期望为48/8=6.0 

N<=100000

 

正解：期望$dp$。

期望满足线性性，但期望的平方和三次方不满足线性性。

于是我们维护一下结尾全$1$序列长度和它的平方就行了。

$(x+1)^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x+1$，$(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$。

直接$dp$的时候一起转移就行，注意如果当前位为$0$那么$x$直接变成$0$。

 

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long

using namespace std;

long double p,a,b,c;
int n;

il int gi(){
  RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
  while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
  if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
  while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return q*x;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("osu.in","r",stdin);
  freopen("osu.out","w",stdout);
#endif
  n=gi();
  for (RG int i=1;i<=n;++i){
    scanf("%Lf",&p);
    c=(c+3*b+3*a+1)*p+c*(1-p);
    b=(b+2*a+1)*p,a=(a+1)*p;
  }
  printf("%0.1Lf\n",c); return 0;
}