bzoj3576 [Hnoi2014]江南乐

Description

 小A是一个名副其实的狂热的回合制游戏玩家。在获得了许多回合制游戏的世界级奖项之后，小A有一天突然想起了他小时候在江南玩过的一个回合制游戏。    游戏的规则是这样的，首先给定一个数F，然后游戏系统会产生T组游戏。每一组游戏包含N堆石子，小A和他的对手轮流操作。每次操作时，操作者先选定一个不小于2的正整数M (M是操作者自行选定的，而且每次操作时可不一样)，然后将任意一堆数量不小于F的石子分成M堆，并且满足这M堆石子中石子数最多的一堆至多比石子数最少的一堆多1（即分的尽量平均，事实上按照这样的分石子万法，选定M和一堆石子后，它分出来的状态是固定的）。当一个玩家不能操作的时候，也就是当每一堆石子的数量都严格小于F时，他就输掉。(补充：先手从N堆石子中选择一堆数量不小于F的石子分成M堆后，此时共有N+M-1)堆石子，接下来小A从这N+M-1堆石子中选择一堆数量不小于F的石子，依此类推。
小A从小就是个有风度的男生，他邀请他的对手作为先手。小A现在想要知道，面对给定的一组游戏，而且他的对手也和他一样聪明绝顶的话，究竟谁能够获得胜利？

Input

    输入第一行包含两个正整数T和F，分别表示游戏组数与给定的数。
    接下来T行，每行第一个数N表示该组游戏初始状态下有多少堆石子。之后N个正整数，表示这N堆石子分别有多少个。

Output

    输出一行，包含T个用空格隔开的0或1的数，其中0代表此时小A（后手）会胜利，而1代表小A的对手（先手）会胜利。

Sample Input

4 3
1 1
1 2
1 3
1 5

Sample Output

0 0 1 1

HINT

  对于100%的数据，T<100，N<100，F<100000，每堆石子数量<100000。
  以上所有数均为正整数。

 

正解：分块+$SG$函数。

首先，$70$分暴力很容易写。。

我们直接暴力枚举所有子状态，发现子状态的$SG$函数只与大堆和小堆的奇偶性有关，那么转移就是$O(1)$的。

把所有子状态的$SG$值取$mex$就是当前状态$SG$值。最后把每堆石头的$SG$值异或就能得到答案。

然后考虑如何优化，我们可以发现两个神奇的性质。

1.$n/m$,也就是拆分后每堆石头的数量，不会超过$\sqrt{n}$个(数论分块相关)。

2.对于$n/m$相等的状态，$n \ mod \ m$与$n \ mod \ (m+2)$的子状态相同，这个也很好证明。

那么我们对于每一个块，只要算出块首和块首$+1$的位置的子状态的$SG$函数就行了。

 

//It is made by wfj_2048~
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define inf (1<<30)
#define N (200010)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long

using namespace std;

int vi[N],sg[N],vis[N],n,f,cnt,ans;

il int gi(){
    RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
    while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
    while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return q*x;
}

il int dfs(RG int n){
    if (vis[n]) return sg[n]; vis[n]=1; if (n<f) return sg[n]=0;
    for (RG int i=2;i<=n;i=n/(n/i)+1)
    for (RG int j=i;j<=i+1 && j<=n;++j) dfs(n/j),dfs(n/j+1);
    ++cnt;
    for (RG int i=2,sz,re,tmp;i<=n;i=n/(n/i)+1)
    for (RG int j=i;j<=i+1 && j<=n;++j){
        sz=n/j,re=n%j,tmp=0; if (re&1) tmp^=dfs(sz+1);
        if ((j-re)&1) tmp^=dfs(sz); vi[tmp]=cnt;
    }
    for (sg[n]=0;vi[sg[n]]==cnt;++sg[n]); return sg[n];
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("game.in","r",stdin);
    freopen("game.out","w",stdout);
#endif
    RG int T=gi(); f=gi();
    for (RG int tim=1;tim<=T;++tim){
    n=gi(),ans=0;
    for (RG int i=1;i<=n;++i) ans^=dfs(gi());
    if (tim==1) printf(ans ? "1" : "0");
    else printf(ans ? " 1" : " 0");
    }
    return 0;
}