bzoj4405 [wc2016]挑战NPC
Description
小N最近在研究NP完全问题，小O看小N研究得热火朝天，便给他出了一道这样的题目：
有n个球，用整数1到n编号。还有m个筐子，用整数1到m编号。
每个筐子最多能装3个球。
每个球只能放进特定的筐子中。具体有e个条件，第i个条件用两个整数vi和ui描述，表示编号为vi的球可以放进编号为ui的筐子中。
每个球都必须放进一个筐子中。如果一个筐子内有不超过1个球，那么我们称这样的筐子为半空的。
求半空的筐子最多有多少个，以及在最优方案中，每个球分别放在哪个筐子中。
小N看到题目后瞬间没了思路，站在旁边看热闹的小I嘿嘿一笑：“水题！”
然后三言两语道出了一个多项式算法。
小N瞬间就惊呆了，三秒钟后他回过神来一拍桌子：
“不对！这个问题显然是NP完全问题，你算法肯定有错！”
小I浅笑：“所以，等我领图灵奖吧!”
小O只会出题不会做题，所以找到了你——请你对这个问题进行探究，并写一个程序解决此题。
Input
第一行包含1个正整数T，表示有T组数据。
对于每组数据，第一行包含3个正整数n,m,e，表示球的个数，筐子的个数和条件的个数。
接下来e行,每行包含2个整数vi,ui，表示编号为vi的球可以放进编号为ui的筐子。
Output
对于每组数据，先输出一行，包含一个整数，表示半空的筐子最多有多少个。
Sample Input
1
4 3 6
1 1
2 1
2 2
3 2
3 3
4 3
4 3 6
1 1
2 1
2 2
3 2
3 3
4 3
Sample Output
2
HINT
对于所有数据，T≤5，1≤n≤3m。保证 1≤vi≤n,1≤ui≤m，且不会出现重复的条件。
保证至少有一种合法方案,使得每个球都放进了筐子,且每个筐子内球的个数不超过 3。
M<=100
正解：带花树算法。
学了带花树，现在还有点不理解，然后就把这道题作为入门题。。
一道很神奇的一般图匹配问题，不过暴力分挺多的。。
暴力分不多说了：爆搜+模拟构造+二分图匹配+拆点二分图匹配就有$60$分。。
然后就讲正解了：
把每个筐子拆成$3$个筐子，然后两两之间连边。
对于所有的条件，球向筐子的$3$个点连边。
然后跑一般图最大匹配，答案就是匹配数-$n$。
为什么呢？
我们可以注意到，如果一个筐子没有装球，那么匹配数是$1$。
如果一个筐子装了$1$个球，那么匹配数是$2$。
如果一个筐子装了$2$个球，那么匹配数是$2$。
如果一个筐子装了$3$个球，那么匹配数是$3$。
然后我们发现，这样对应起来，答案就是匹配数-$n$。
1 //It is made by wfj_2048~ 2 #include <algorithm> 3 #include <iostream> 4 #include <cstring> 5 #include <cstdlib> 6 #include <cstdio> 7 #include <vector> 8 #include <cmath> 9 #include <queue> 10 #include <stack> 11 #include <map> 12 #include <set> 13 #define inf (1<<30) 14 #define M (1000010) 15 #define N (1010) 16 #define il inline 17 #define RG register 18 #define ll long long 19 #define id(i,j) (3*(i-1)+j) 20 21 using namespace std; 22 23 struct edge{ int nt,to; }g[M]; 24 25 int head[N],match[N],pre[N],vis[N],id[N],fa[N],q[M],h,t,n,m,e,mn,num,cnt,ans; 26 27 il int gi(){ 28 RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); 29 while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar(); 30 if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); 31 while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); 32 return q*x; 33 } 34 35 il void insert(RG int from,RG int to){ 36 g[++num]=(edge){head[from],to},head[from]=num; return; 37 } 38 39 il int find(RG int x){ return fa[x]==x ? x : fa[x]=find(fa[x]); } 40 41 il int lca(RG int x,RG int y){ 42 ++cnt; 43 for (x=find(x),y=find(y);vis[x]!=cnt;swap(x,y)) 44 if (x) vis[x]=cnt,x=find(pre[match[x]]); 45 return x; 46 } 47 48 il void change(RG int x,RG int y,RG int k){ 49 while (find(x)!=k){ 50 pre[x]=y; RG int z=match[x]; 51 if (id[z]==1) id[z]=0,q[++t]=z; 52 if (find(z)==z) fa[z]=k; 53 if (find(x)==x) fa[x]=k; 54 y=z,x=pre[y]; 55 } 56 return; 57 } 58 59 il int bfs(RG int ini){ 60 for (RG int i=1;i<=mn;++i) id[i]=-1,fa[i]=i; 61 h=t=0,q[++t]=ini,id[ini]=0; 62 while (h<t){ 63 RG int x=q[++h],v; 64 for (RG int i=head[x];i;i=g[i].nt){ 65 v=g[i].to; 66 if (id[v]==-1){ 67 pre[v]=x,id[v]=1; 68 if (!match[v]){ 69 RG int now=v,t,la; 70 while (now){ 71 t=pre[now],la=match[t]; 72 match[t]=now,match[now]=t,now=la; 73 } 74 return 1; 75 } 76 id[match[v]]=0,q[++t]=match[v]; 77 } else if (!id[v] && find(x)!=find(v)){ 78 RG int g=lca(x,v); 79 change(x,v,g),change(v,x,g); 80 } 81 } 82 } 83 return 0; 84 } 85 86 il void work(){ 87 n=gi(),m=gi(),e=gi(),num=0; 88 memset(head,0,sizeof(head)); 89 for (RG int i=1,u,v;i<=e;++i){ 90 u=gi(),v=gi(),u+=3*m; 91 insert(u,id(v,1)),insert(id(v,1),u); 92 insert(u,id(v,2)),insert(id(v,2),u); 93 insert(u,id(v,3)),insert(id(v,3),u); 94 } 95 for (RG int i=1;i<=m;++i){ 96 insert(id(i,1),id(i,2)),insert(id(i,2),id(i,1)); 97 insert(id(i,1),id(i,3)),insert(id(i,3),id(i,1)); 98 insert(id(i,3),id(i,2)),insert(id(i,2),id(i,3)); 99 } 100 mn=3*m+n,cnt=ans=0,memset(match,0,sizeof(match)); 101 memset(pre,0,sizeof(pre)),memset(vis,0,sizeof(vis)); 102 for (RG int i=mn;i;--i) if (!match[i]) ans+=bfs(i); printf("%d\n",ans-n); 103 for (RG int i=3*m+1;i<=mn;++i) printf("%d ",(match[i]-1)/3+1); return; 104 } 105 106 int main(){ 107 #ifndef ONLINE_JUDGE 108 freopen("npc.in","r",stdin); 109 freopen("npc.out","w",stdout); 110 #endif 111 RG int T=gi(); 112 while (T--) work(); 113 return 0; 114 }
