bzoj3244 [Noi2013]树的计数

Description

我们知道一棵有根树可以进行深度优先遍历（DFS）以及广度优先遍历（BFS）来生成这棵树的DFS序以及BFS序。两棵不同的树的DFS序有可能相同，并且它们的BFS序也有可能相同，例如下面两棵树的DFS序都是1 2 4 5 3，BFS序都是1 2 3 4 5

现给定一个DFS序和BFS序，我们想要知道，符合条件的有根树中，树的高度的平均值。即，假如共有K棵不同的有根树具有这组DFS序和BFS序，且他们的高度分别是h1,h2,...,hk，那么请你输出(h1+h2..+hk)/k

Input

有3行。 
第一行包含1个正整数n，表示树的节点个数。 
第二行包含n个正整数，是一个1~n的排列，表示树的DFS序。 
第三行包含n个正整数，是一个1~n的排列，表示树的BFS序。 
输入保证至少存在一棵树符合给定的两个序列。

Output

仅包含1个实数，四舍五入保留恰好三位小数，表示树高的平均值。

Sample Input

5
1 2 4 5 3
1 2 3 4 5

Sample Output

3.500

HINT

【评分方式】
如果输出文件的答案与标准输出的差不超过0.001，则将获得该测试点上的分数，否则不得分。
【数据规模和约定】
20%的测试数据，满足：n≤10；
40%的测试数据，满足：n≤100；
85%的测试数据，满足：n≤2000；
100%的测试数据，满足：2≤n≤200000。
【说明】
树的高度：一棵有根树如果只包含一个根节点，那么它的高度为1。否则，它的高度为根节点的所有子树的高度的最大值加1。
对于树中任意的三个节点a , b , c ，如果a, b都是c的儿子，则a, b在BFS序中和DFS序中的相对前后位置是一致的，即要么a都在b的前方，要么a都在b的后方。

 

正解：结论题。

一道神奇的人类智慧题。。

考虑把点按照$dfs$序编号，然后我们研究一下$bfs$序的一些性质。

如果$bfn_{i}>bfn_{i+1}$，那么很显然，$i+1$这个点一定在$i$的下一层，它对答案的贡献为$1$；

如果$bfn_{i}+1=bfn_{i+1}$，且$i+1$到$n$能形成一段连续的$dfn$区间，那么$i+1$这个点有两种可能，一种是$i$的兄弟，一种是$i$的儿子，这两种情况概率是相等的，那么它对答案的贡献就是$0.5$；

如果$bfn_{i}+1<bfn_{i+1}$，那么很显然，$i+1$对答案没有任何贡献。

然后我们就这么做完这题了。。

 

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define inf (1<<30)
#define N (500010)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

int dfn[N],bfn[N],l[N],r[N],n;
double ans;

il int gi(){
    RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
    while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
    while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return q*x;
}

il void work(){
    n=gi(); if (n==1){ puts("1.000"); return; }
    for (RG int i=1;i<=n;++i) dfn[gi()]=i,ans=2;
    for (RG int i=1;i<=n;++i) bfn[i]=dfn[gi()]; l[n+1]=n+1;
    for (RG int i=n;i;--i) l[i]=min(l[i+1],bfn[i]),r[i]=max(r[i+1],bfn[i]);
    for (RG int i=2;i<n;++i)
    if (bfn[i]>bfn[i+1]) ++ans;
    else if (bfn[i]+1==bfn[i+1] && r[i+1]-l[i+1]+1==n-i) ans+=0.5;
    printf("%0.3lf\n",ans); return;
}

int main(){
    File("count");
    work();
    return 0;
}