bzoj4031 [HEOI2015]小Z的房间

Description

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’*’，其中’.’代表房间，’*’代表柱子。

Output

 一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

3 3
...
...
.*.

Sample Output

15

HINT

对于前100%的数据，n,m<=9

 

正解：矩阵树定理+高斯消元。

 

$Matrix-Tree$定理

1、$G$的度数矩阵$\({D_G}\)$是一个$n*n$的矩阵，并且满足：当$i≠j$时,$\({D_{i,j}}\)=0$；当$i=j$时，$\({D_{i,j}}\)$等于$\({V_{i}}\)$的度数。
2、$G$的邻接矩阵$\({A_{G}}\)$也是一个$n*n$的矩阵，并且满足：如果$\({V_{i}}\)$、$\({V_{j}}\)$之间有边直接相连，则$\({A_{i,j}}\)=1$，否则为$0$。
定义$G$的$Kirchhoff$矩阵$\(C_G\)$为$\(C_G=D_G-A_G\)$
$Matrix-Tree$定理：$G$的所有不同的生成树的个数等于其$Kirchhoff$矩阵$\(C_G\)$任何一个$n-1$阶主子式（去掉第$r$行第$r$列的新矩阵）的行列式的绝对值。

 

这题有一个麻烦的地方在于：模数不是质数。所以我们不能直接求逆元。但是我们可以用欧几里得定理，直接辗转相除就行了。

 

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#include <algorithm>
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#include <complex>
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#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
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#include <map>
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#define rhl (1000000000)
#define inf (1<<30)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

ll a[110][110],d[110][110],g[110][110],c[110][110],n,m,cnt,ans;
char s[110][110];

il void insert(RG ll x,RG ll y){ g[x][y]=1,d[x][x]++; return; }

il void gauss(){
    RG ll f=1;
    for (RG ll i=1;i<cnt;++i){
    for (RG ll j=i+1;j<cnt;++j){
        RG ll x=a[i][i],y=a[j][i];
        while (y){
        RG ll t=x/y; x%=y; swap(x,y);
        for (RG ll k=i;k<cnt;++k){
            a[i][k]=(a[i][k]-t*a[j][k]%rhl+rhl)%rhl;
            swap(a[i][k],a[j][k]);
        }
        f=-f;
        }
    }
    if (!a[i][i]){ ans=0; return; }
    ans=ans*a[i][i]%rhl;
    }
    if (f==-1) ans=(rhl-ans)%rhl; return;
}

il void work(){
    cin>>n>>m,ans=1;
    for (RG ll i=1;i<=n;++i){
    scanf("%s",s[i]+1);
    for (RG ll j=1;j<=m;++j)
        if (s[i][j]=='.') c[i][j]=++cnt;
    }
    for (RG ll i=1;i<=n;++i)
    for (RG ll j=1;j<=m;++j){
        if (s[i][j]=='*') continue;
        if (i-1>0 && s[i-1][j]=='.') insert(c[i][j],c[i-1][j]);
        if (i+1<=n && s[i+1][j]=='.') insert(c[i][j],c[i+1][j]);
        if (j-1>0 && s[i][j-1]=='.') insert(c[i][j],c[i][j-1]);
        if (j+1<=m && s[i][j+1]=='.') insert(c[i][j],c[i][j+1]);
    }
    for (RG ll i=1;i<=cnt;++i)
    for (RG ll j=1;j<=cnt;++j) a[i][j]=(d[i][j]-g[i][j]+rhl)%rhl;
    gauss(); printf("%lld",ans); return;
}

int main(){
    File("room");
    work();
    return 0;
}