bzoj4031 [HEOI2015]小Z的房间

Description

你突然有了一个大房子,房子里面有一些房间。事实上,你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形,每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候,相邻的格子之间都有墙隔着。

你想要打通一些相邻房间的墙,使得所有房间能够互相到达。在此过程中,你不能把房子给打穿,或者打通柱子(以及柱子旁边的墙)。同时,你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓,所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在,你希望统计一共有多少种可行的方案。

Input

第一行两个数分别表示n和m。

接下来n行,每行m个字符,每个字符都会是’.’或者’*’,其中’.’代表房间,’*’代表柱子。

Output

 一行一个整数,表示合法的方案数 Mod 10^9

Sample Input

3 3
...
...
.*.

Sample Output

15

HINT

对于前100%的数据,n,m<=9

 

正解:矩阵树定理+高斯消元。

 

$Matrix-Tree$定理

1、$G$的度数矩阵$\({D_G}\)$是一个$n*n$的矩阵,并且满足:当$i≠j$时,$\({D_{i,j}}\)=0$;当$i=j$时,$\({D_{i,j}}\)$等于$\({V_{i}}\)$的度数。
2、$G$的邻接矩阵$\({A_{G}}\)$也是一个$n*n$的矩阵,并且满足:如果$\({V_{i}}\)$、$\({V_{j}}\)$之间有边直接相连,则$\({A_{i,j}}\)=1$,否则为$0$。
定义$G$的$Kirchhoff$矩阵$\(C_G\)$为$\(C_G=D_G-A_G\)$
$Matrix-Tree$定理:$G$的所有不同的生成树的个数等于其$Kirchhoff$矩阵$\(C_G\)$任何一个$n-1$阶主子式(去掉第$r$行第$r$列的新矩阵)的行列式的绝对值。

 

这题有一个麻烦的地方在于:模数不是质数。所以我们不能直接求逆元。但是我们可以用欧几里得定理,直接辗转相除就行了。

 

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 2 #include <algorithm>
 3 #include <iostream>
 4 #include <complex>
 5 #include <cstring>
 6 #include <cstdlib>
 7 #include <cstdio>
 8 #include <vector>
 9 #include <cmath>
10 #include <queue>
11 #include <stack>
12 #include <map>
13 #include <set>
14 #define rhl (1000000000)
15 #define inf (1<<30)
16 #define il inline
17 #define RG register
18 #define ll long long
19 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
20 
21 using namespace std;
22 
23 ll a[110][110],d[110][110],g[110][110],c[110][110],n,m,cnt,ans;
24 char s[110][110];
25 
26 il void insert(RG ll x,RG ll y){ g[x][y]=1,d[x][x]++; return; }
27 
28 il void gauss(){
29     RG ll f=1;
30     for (RG ll i=1;i<cnt;++i){
31     for (RG ll j=i+1;j<cnt;++j){
32         RG ll x=a[i][i],y=a[j][i];
33         while (y){
34         RG ll t=x/y; x%=y; swap(x,y);
35         for (RG ll k=i;k<cnt;++k){
36             a[i][k]=(a[i][k]-t*a[j][k]%rhl+rhl)%rhl;
37             swap(a[i][k],a[j][k]);
38         }
39         f=-f;
40         }
41     }
42     if (!a[i][i]){ ans=0; return; }
43     ans=ans*a[i][i]%rhl;
44     }
45     if (f==-1) ans=(rhl-ans)%rhl; return;
46 }
47 
48 il void work(){
49     cin>>n>>m,ans=1;
50     for (RG ll i=1;i<=n;++i){
51     scanf("%s",s[i]+1);
52     for (RG ll j=1;j<=m;++j)
53         if (s[i][j]=='.') c[i][j]=++cnt;
54     }
55     for (RG ll i=1;i<=n;++i)
56     for (RG ll j=1;j<=m;++j){
57         if (s[i][j]=='*') continue;
58         if (i-1>0 && s[i-1][j]=='.') insert(c[i][j],c[i-1][j]);
59         if (i+1<=n && s[i+1][j]=='.') insert(c[i][j],c[i+1][j]);
60         if (j-1>0 && s[i][j-1]=='.') insert(c[i][j],c[i][j-1]);
61         if (j+1<=m && s[i][j+1]=='.') insert(c[i][j],c[i][j+1]);
62     }
63     for (RG ll i=1;i<=cnt;++i)
64     for (RG ll j=1;j<=cnt;++j) a[i][j]=(d[i][j]-g[i][j]+rhl)%rhl;
65     gauss(); printf("%lld",ans); return;
66 }
67 
68 int main(){
69     File("room");
70     work();
71     return 0;
72 }

 

posted @ 2017-03-28 12:59  wfj_2048  阅读(222)  评论(0编辑  收藏  举报