bzoj1009 [HNOI2008]GT考试

 

Description

阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为0

Input

第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000

Output

阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.

Sample Input

4 3 100
111

Sample Output

81

 

正解：$kmp$+矩阵快速幂加速。

 

cjk大神的题解：

 

字符串上的动态规划：
按顺序处理准考证号每一位，
设f[i][j]表示：准考证号前i位中 后j位与不吉利数的前j位相同时，前i位的方案数 
那么答案ans=f[n][0]+f[n][1]+…+f[n][m-1]

f[i][j]的准确含义：
1.f[i][j]表示的每种方案不仅与其后j位有关，还应保证不含不吉利数 
2.为避免重复，f[i][j]表示的每种方案都不含长度大于j且与不吉利数的前缀相同 的后缀 
 否则就会出现：从1到m标号，不吉利数为123124时，f[i][2]计数的方案包含f[i][5]计数的方案 的情况 

状态转移：
f[i][j]只能由f[i-1][k]得到，相当于填完第i-1位后，将其后缀k(长为k的后缀)后面新添一位num，之后这个i位数的 与不吉利数前缀相同的最长后缀是：后缀j
i>=1时：f[i][j]=f[i-1][0]*a[0][j]+f[i-1][1]*a[1][j]+…+f[i-1][m-1]*a[m-1][j]
比如：还是假设不吉利数为123124，那么 f[i][3]=f[i-1][2]+f[i-1][5]，因为 f[i-1][2]末尾的*****12不能是**12312，所以需要f[i-1][5]补充 
但若不吉利数为123123，那么 f[i][3]=f[i-1][2]，因为 f[i][3]末尾的*****123不能是**123123
i==0时：f[0][0]=1,f[0][其他]=0
其中，a[k][j]就表示上面提到的num能取几个值，可以用kmp算法预处理出来，它是一个矩阵 

这样就可以不重不漏地计数了 

再来个矩阵加速：f[i][j]求法是个线性齐次递推式，可以构造成矩阵，然后加一下速。

 

感觉自己还不是很理解。。慢慢推敲吧。。

 

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#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define inf (1<<30)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

struct data{ int a[30][30]; }a,b;

int nxt[30],n,m,k,ans;
char s[30];

il int gi(){
    RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q*x;
}

il data mul(RG data a,RG data b){
    RG data c; memset(c.a,0,sizeof(c.a));
    for (RG int i=0;i<m;++i)
    for (RG int j=0;j<m;++j)
        for (RG int p=0;p<m;++p){
        c.a[i][j]+=a.a[i][p]*b.a[p][j]%k;
        if (c.a[i][j]>=k) c.a[i][j]-=k;
        }
    return c;
}

il void work(){
    n=gi(),m=gi(),k=gi(); scanf("%s",s+1);
    for (RG int i=2;i<=m;++i){
    RG int j=nxt[i-1];
    while (j && s[j+1]!=s[i]) j=nxt[j];
    if (s[j+1]==s[i]) nxt[i]=j+1;
    }
    for (RG int i=0;i<m;++i)
    for (RG int j=0;j<=9;++j){
        RG int t=i; while (t && s[t+1]!=j+'0') t=nxt[t]; if (s[t+1]==j+'0') t++;
        if (t!=m){ b.a[i][t]++; if (b.a[i][t]>=k) b.a[i][t]-=k; }
    }
    for (RG int i=0;i<m;++i) a.a[i][i]=1;
    while (n){ if (n&1) a=mul(a,b); b=mul(b,b); n>>=1; }
    for (RG int i=0;i<m;++i){ ans+=a.a[0][i]; if (ans>=k) ans-=k; }
    printf("%d\n",ans); return;
}

int main(){
    File("gt");
    work();
    return 0;
}