bzoj2818 Gcd

Description

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对.

Input

一个整数N

Output

如题

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

hint
对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)
1<=N<=10^7

 

正解：莫比乌斯函数。

这题可以用欧拉函数水过，然而我作死写了莫比乌斯。。并且这题得出的函数不是积性函数，然后就不会欧了。。

假设有$n$和$m$两个数。

$Ans=\sum_{d=1,prime}^{min(n,m)}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)=d]$

$Ans=\sum_{d=1,prime}^{min(n,m)}\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{m}{d}}[\gcd(i,j)=1]$

$Ans=\sum_{d=1,prime}^{min(n,m)}\sum_{p=1}^{min(\frac{n}{d},\frac{m}{d})}\mu(p)\left \lfloor \frac{n}{dp} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{dp} \right \rfloor$

令$Q=dp$，$Ans=\sum_{d=1,prime}^{min(n,m)}\sum_{d|Q}^{min(n,m)}\mu(\frac{Q}{d})\left \lfloor \frac{n}{Q} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{Q} \right \rfloor$

$Ans=\sum_{Q=1}^{min(n,m)}\left \lfloor \frac{n}{Q} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{Q} \right \rfloor\sum_{d|Q}\mu(\frac{Q}{d})[d,prime]$

然后不会了。。但是后面那个函数其实是可以线性筛的。

设$g(i)=sum_{d|Q}\mu(\frac{Q}{d})[d,prime]$，当$i$为质数时，$g(i)=1$；当$i mod prime[j]=0$时，$g(i*prime[j])=\mu(i)$；当$i mod prime[j]!=0$时，$g(i*prime[j])=\mu(i)-g(i)$。

 

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#define inf (1<<30)
#define N (10000010)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

int vis[N],mu[N],g[N],prime[N],n,cnt,pos;
ll ans;

il void sieve(){
    vis[1]=mu[1]=1;
    for (RG int i=2;i<=n;++i){
    if (!vis[i]) mu[i]=-1,g[i]=1,prime[++cnt]=i;
    for (RG int j=1,k=i*prime[j];j<=cnt && k<=n;++j,k=i*prime[j]){
        vis[k]=1;
        if (i%prime[j]) mu[k]=-mu[i],g[k]=mu[i]-g[i];
        else{ g[k]=mu[i]; break; }
    }
    }
    for (RG int i=2;i<=n;++i) g[i]+=g[i-1]; return;
}

il void work(){
    cin>>n; sieve();
    for (RG int i=1;i<=n;i=pos+1){
    pos=n/(n/i);
    ans+=(ll)(n/i)*(ll)(n/i)*(ll)(g[pos]-g[i-1]);
    }
    cout<<ans; return;
}

int main(){
    File("gcdprime");
    work();
    return 0;
}