bzoj4407 于神之怒加强版
Description
Input
多组数据。
第一行是两个数T,K;
之后的T行，每行两个整数n，m；
Output
T行，每行一个结果
Sample Input
1 2
3 3
Sample Output
20
Hint
T<=2000,1<=N,M,K<=5000000
正解：莫比乌斯函数。
一顿乱推。。
$Ans=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\gcd(i,j)^{k}$
$Ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d^{k}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)==d]$
然后推到$Ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}d^{k}\sum_{p=1}^{min(\frac{n}{d},\frac{m}{d})}\mu(p)\left \lfloor \frac{n}{dp} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{dp} \right \rfloor$
令$Q=dp$，$Ans=\sum_{Q=1}^{min(n,m)}\left \lfloor \frac{n}{Q} \right \rfloor\left \lfloor \frac{m}{Q} \right \rfloor\sum_{d|Q}d^{k}\mu(\frac{Q}{d})$
令$f(Q)=\sum_{d|Q}d^{k}\mu(\frac{Q}{d})$，我们发现，因为$d^{k}$是个积性函数，$\mu$也是个积性函数，于是根据狄利克雷卷积的性质，$f(Q)$也是个积性函数。
然后我们打表找规律，发现当$i$为质数时，$f(i)=i^{k}-1$；当$i mod prime[j]=0$时，$f(i*prime[j])=f(i)*prime[j]^{k}$。
于是我们就能线性筛出$f(i)$，然后求出前缀和，运用数论分块，我们可以将复杂度降至$O(\sqrt{n}T)$。于是，这道题就被顺利解决了。
1 //It is made by wfj_2048~ 2 #include <algorithm> 3 #include <iostream> 4 #include <complex> 5 #include <cstring> 6 #include <cstdlib> 7 #include <cstdio> 8 #include <vector> 9 #include <cmath> 10 #include <queue> 11 #include <stack> 12 #include <map> 13 #include <set> 14 #define inf (1<<30) 15 #define N (5000010) 16 #define il inline 17 #define RG register 18 #define ll long long 19 #define rhl (1000000007) 20 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout) 21 22 using namespace std; 23 24 int vis[N],prime[N],T,k,n,m,cnt,pos; 25 ll bin[N],mu[N],f[N],ans; 26 27 il int gi(){ 28 RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar(); 29 if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q*x; 30 } 31 32 il ll qpow(RG ll a,RG ll b){ 33 RG ll ans=1; 34 while (b){ 35 if (b&1) ans=ans*a; a=a*a,b>>=1; 36 if (ans>=rhl) ans%=rhl; 37 if (a>=rhl) a%=rhl; 38 } 39 return ans; 40 } 41 42 il void sieve(){ 43 vis[1]=mu[1]=f[1]=bin[1]=1; 44 for (RG int i=2;i<N;++i){ 45 if (!vis[i]) vis[i]=1,mu[i]=rhl-1,bin[i]=qpow(i,k),f[i]=(bin[i]+rhl-1)%rhl,prime[++cnt]=i; 46 for (RG int j=1,k=i*prime[j];j<=cnt && k<N;++j,k=i*prime[j]){ 47 vis[k]=1; 48 if (i%prime[j]) mu[k]=rhl-mu[i],f[k]=f[i]*f[prime[j]]%rhl; 49 else{ f[k]=f[i]*bin[prime[j]]%rhl; break; } 50 } 51 } 52 for (RG int i=2;i<N;++i){ 53 mu[i]+=mu[i-1],f[i]+=f[i-1]; 54 if (mu[i]>=rhl) mu[i]-=rhl; 55 if (f[i]>=rhl) f[i]-=rhl; 56 } 57 return; 58 } 59 60 il void work(){ 61 n=gi(),m=gi(),ans=0; if (n>m) swap(n,m); 62 for (RG int i=1;i<=n;i=pos+1){ 63 pos=min(n/(n/i),m/(m/i)); 64 ans+=(ll)(n/i)*(ll)(m/i)%rhl*(f[pos]-f[i-1]+rhl)%rhl; 65 if (ans>=rhl) ans-=rhl; 66 } 67 printf("%lld\n",ans); return; 68 } 69 70 int main(){ 71 File("4407"); 72 T=gi(),k=gi(),sieve(); 73 while (T--) work(); 74 return 0; 75 }
